"ഗണിതീയ ആഗമനം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
(ചെ.) (1 പതിപ്പ്) |
No edit summary |
||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
ധനപൂര്‍ണ്ണചരങ്ങളെ സം‌ബന്ധിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകള്‍ തെളിയിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട രീതിയാണ് '''ഗണിതീയ ആഗമനം''' (Mathematical Induction). എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് തെളിവ് നല്‍കുന്നത്.അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള പ്രസ്താവനകളില്‍ ആദ്യത്തേത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. ശേഷം ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രസ്താവന യുക്തിസഹിതം ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ച് അതിനടുത്ത പ്രസ്താവനയും ഇക്കാരണങ്ങളാല്‍ തന്നെ ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. | ധനപൂര്‍ണ്ണചരങ്ങളെ സം‌ബന്ധിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകള്‍ തെളിയിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട രീതിയാണ് '''ഗണിതീയ ആഗമനം''' (Mathematical Induction). എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് തെളിവ് നല്‍കുന്നത്.അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള പ്രസ്താവനകളില്‍ ആദ്യത്തേത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. ശേഷം ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രസ്താവന യുക്തിസഹിതം ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ച് അതിനടുത്ത പ്രസ്താവനയും ഇക്കാരണങ്ങളാല്‍ തന്നെ ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. | ||
| വരി 13: | വരി 12: | ||
== ഉദാഹരണം == | == ഉദാഹരണം == | ||
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ച് n(n+1)/2 എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ക്കും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാം. | ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ച് n(n+1)/2 എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ക്കും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാം. | ||
23:10, 23 ഒക്ടോബർ 2009-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ധനപൂര്‍ണ്ണചരങ്ങളെ സം‌ബന്ധിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകള്‍ തെളിയിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട രീതിയാണ് ഗണിതീയ ആഗമനം (Mathematical Induction). എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് തെളിവ് നല്‍കുന്നത്.അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള പ്രസ്താവനകളില്‍ ആദ്യത്തേത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. ശേഷം ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രസ്താവന യുക്തിസഹിതം ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ച് അതിനടുത്ത പ്രസ്താവനയും ഇക്കാരണങ്ങളാല്‍ തന്നെ ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.
ചരിത്രം
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ആദ്യകാലതെളിവുകള്‍ യൂക്ലിഡ്, ഭാസ്കരന്‍ എന്നിവര്‍ നല്‍കി. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാണ് യൂക്ലിഡ് ഈ രീതി അവലംബിച്ചത്. സമാന്തരഅനുക്രമംകണ്ടെത്താനുള്ള ആദ്യതെളിവ് അല്‍-കറാജി എ.ഡി1000-ത്തോടടുത്ത് തന്റെ അല്‍-ഫക്രിയില്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്നു.ഇദ്ദേഹമാണ് ഗണിതീയ ആഗമനത്തിന്റെ 2 അടിസ്ഥാനഘടകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചത്.ഈ ഘടകങ്ങള്‍ ഇവയാണ്. n ഒരു എണ്ണല്‍സംഖ്യയായാല്‍
- n=1ന് പ്രസ്താവന ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക
- n=k-1 ന് പ്രസ്താവന ശരിയെങ്കില്‍ n=k ക്കും തുടര്‍‌ന്നുവരുന്ന എല്ലാ എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ക്കും ശരിയാണെന്ന് വ്യുല്പാദിക്കുക
ഇദ്ദേഹം ദ്വിപദപ്രമേയം(Binomial Theorem), പാസ്ക്കലിന്റെ ത്രികോണം ഇവ തെളിയിക്കാന്‍ ഈ രീതി അവലംബിച്ചു. കൂടാതെ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കാനും ഗണിതീയ ആഗമനം ആണ് അവലംബിച്ചത്.
ഉദാഹരണം
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ച് n(n+1)/2 എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ക്കും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാം.