ജ്യാമിതി

ജ്യാമിതീയ ഘനരൂപങ്ങള്‍ -1.ഗോളം, 2.പിരമിഡ്, 3.ക്യൂബ്‌, 4.റ്റോറസ്, 5.ട്യൂബ്, 6.സിലിണ്ടര്‍‌, 7.കോണ്‍ അഥവാ കൂമ്പ്, 8.റ്റോറസ് നോട്ട് (torus knot)- റ്റോറസ് കെട്ട്

വസ്തുക്കളുടെ രൂപങ്ങളെപ്പറ്റി പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ.

പേരിനു പിന്നില്‍

ഭൂമി എന്നര്‍ത്ഥം വരുന്ന ജ്യാ , അളവ് എന്നര്‍ത്ഥം വരുന്ന മിതി എന്നീ സംസ്കൃതപദങ്ങള്‍ ചേര്‍ന്നാണ്‌ ജ്യാമിതി എന്ന പദം ഉണ്ടായത് ഭൂമിയിലെ അളവുകളെ സംബന്ധിക്കുന്നത് എന്നാണ്, ജ്യാമിതി (Geometry) എന്ന വാക്കിന്റെ അര്‍ത്ഥം.

ചരിത്രം

കൃഷി, കെട്ടിടങ്ങളുടെ നിര്‍മ്മാണം എന്നിവയുടെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ ശാസ്ത്രശാഖ രൂപം പ്രാപിക്കുകയും വികസിക്കുകയും ചെയ്തു. പ്രാചീന ശിലായുഗകാലം മുതല്‍ മനുഷ്യര്‍ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്ക് മുന്‍പ് തന്നെ ഭാരതത്തിലും ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി സിന്ധുനദീതടസംസ്കാര കാലത്ത് നിര്‍മ്മിച്ചിരുന്ന വീടുകളൂടേയും കെട്ടിടങ്ങളുടേയും അവശിഷ്ടങ്ങളില്‍ നിന്നും മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.

പുരാതന ഗ്രീസില്‍

ബി.സി ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനോടടുത്ത് ജീവിച്ചിരുന്ന ഥേല്‍സ് ആണ് ആദ്യകാലത്തെ പ്രധാന ക്ഷേത്രഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായി കരുതുന്നത്.ലളിതവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ തെളിവുസഹിതം ഇദ്ദേഹം ആവിഷ്ക്കരിച്ചു.അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തില്‍ വരയ്ക്കുന്ന കോണ്‍ മട്ടകോണായിരിയ്ക്കും എന്ന് ഇദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യരില്‍ പ്രധാനിയായിരുന്ന പൈത്തഗോറസ് ത്രികോണങ്ങള്‍,വൃത്തങ്ങള്‍,അനുപാതം എന്നിവയെയെല്ലാം പറ്റി പുതിയസിദ്ധാന്തങ്ങല്‍ രൂപപ്പെടുത്തി.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരില്‍ തന്നെ അറിയപ്പെടുന്ന പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ആണ് പ്രധാനസംഭാവന.ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളേയും കോണുകളെയും സംബന്ധിയ്ക്കുന്ന ബന്ധങ്ങളാണ് ഇതിലൂടെ വ്യക്തമാക്കിയത്.ബി.സി 300നോടടുത്ത് ജീവിച്ചിരുന്ന യൂക്ലിഡ് ആണ് ഈ ശാഖയിലെ മറ്റൊരു പ്രശസ്തന്‍.അനുമാനരീതി ആരംഭിച്ചത് ഇദ്ദേഹമാണ്.ഇക്കാലത്തും ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ സംഭാവനയായ എലമെന്റ്സ്'ഇനുള്ള പ്രാധാന്യം അവഗണിയ്ക്കാനാവത്തതാണ്. ഉത്തരത്തിലെത്തിച്ചേരുക എന്നതിലുപരിയായി എപ്രകാരം ചെയ്യുന്നു അതായത് വഴികള്‍ക്കാണ് ഇദ്ദേഹം പ്രാധാന്യം നല്‍കിയത്.ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയും അവതരിപ്പിച്ചത് ഗ്രീക്കുകാരാണ്.

കോണികങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാരംഭിച്ചത് ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന അപ്പോളോണിയസ് ആണ്.ഭൗതികശാസ്ത്രത്തില്‍ ഈ രൂപങ്ങള്‍ പ്രധാനങ്ങളാണ്.ആര്‍ക്കമിഡീസ് ബി.സി.മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിനോടടുത്ത് ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണവും വക്രരൂപങ്ങളുടെ ഉപരിതലവിസ്തീര്‍ണ്ണവും വ്യാപ്തവും നിര്‍ണ്ണയിയ്ക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി.പൈയുടെ ഏകദേശവില 3 10/70 യുടേയും 3 10/71യുടേയും ഇടയിലാണെന്ന് കണ്ടെത്തി.

മദ്ധ്യകാലഘട്ടത്തില്‍

റോമാസാമ്രാജ്യത്തിന്റെ പതനത്തോടെ യൂറോപ്പ് ഇരുണ്ട യുഗത്തിലായതിനാല്‍ ഇവിടങ്ങളില്‍ ഇക്കാലത്ത് ഏതൊരു ശാഖയേയുമെന്ന പോലെ ജ്യാമിതിയിലും പുരോഗമനമൊന്നും ഉണ്ടായില്ല.ഇക്കാലത്ത് ജ്യാമിതിയില്‍ സംഭാവനകള്‍ നല്‍കിയത് ആഫ്രിക്കന്‍ രാജ്യങ്ങളും ഭാരതവുമായിരുന്നു.എ.ഡി ആറാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ആര്യഭടനാണ് ഭാരതത്തിലെ ഇക്കാലത്തെ ഗണിതശാസ്തജ്ഞരില്‍ പ്രധാനി.പൈയുടെ വില കൃത്യതയോടെ 62832/20000 അഥവാ 4 ദശാംശങ്ങള്‍ക്ക് തുല്യമായി 3.1416 എന്ന് ഇദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി.എ.ഡി 4നും എ.ഡി 13നും ഇടയില്‍ ത്രികോണമിതിയില്‍ പുരോഗതിയുണ്ടായി.

17,18നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ജ്യാമിതി

റെനെ ദെക്കാര്‍ത്തേയാണ് ജ്യാമിതിയിലെ രൂപങ്ങലെ നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങളുപയോഗിച്ച് അവതരിപ്പിയ്ക്കുന്ന സമ്പ്രദായം ആരംഭിച്ചത്.വിശ്ലേഷണജ്യാമിതിയ്ക്ക് തുടക്കമിട്ടത് ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയങ്ങളിലൂടേയാണ്.17ആം നൂറ്റാണ്ടില്‍ വികസിച്ച മറ്റൊരു ജ്യാമിതീയ ശാഖയാണ് പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി.വിവരണജ്യാമിതി പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ വികസിച്ചു.

ആധുനിക ജ്യാമിതി

വിശ്ലേഷണ,പ്രക്ഷേപണ,വിവരണ ജ്യാമിതികള്‍ യൂക്ലീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയ്ക്ക് അടിസ്ഥാനമിട്ടു.യൂക്ലീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ നിന്നും വഴിമാറി സഞ്ചരിച്ചവരാണ് കാള്‍ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ്,ജോര്‍ജ് ഫ്രെഡറിക് ബെര്‍ണാര്‍ഡ് റീമാന്‍ എന്നിവര്‍.ആധുനിക ജ്യാമിതിയുടെ ഏറ്റവും പ്രധാന ആശയമാണ് ഗ്രൂപ് സിദ്ധാന്തം.ഇത് 1872ല്‍ ജര്‍മ്മന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രകാരനായ ഫെലിക്സ് ക്ലെയിന്‍ ആണ് അവതരിപ്പിച്ചത്.നാലോ അതില്‍ക്കൂടുതലോ വിമകളുടെ ജ്യാമിതി ആര്‍തര്‍ കെയ്‌ലി ‍19ആം നൂറ്റാണ്ടില്‍ വികസിപ്പിച്ചു.

ജ്യാമിതീയ ശാഖകള്‍

പ്രായോഗികജ്യാമിതി

ഒരു പ്രായോഗികശാസ്ത്രമായാണ് ജ്യാമിതി എന്ന ശാഖ വികസിച്ചത്.വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തല്‍,വിസ്തീര്‍ണ്ണം,വ്യാപ്തം ഇവ നിര്‍ണ്ണയിയ്ക്കല്‍,അളവുകള്‍ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണ് ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ ജ്യാമിതി വികസിച്ചത്.ഈ മേഖലയിലെ പ്രധാന നേട്ടങ്ങള്‍ നീളം കണ്ടെത്തല്‍,ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്,വിസ്തീര്‍ണ്ണം ഇവ നിര്‍ണ്ണയിയ്ക്കല്‍,പൈത്തഗോറിയന്‍ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതിയിലുള്ള പ്രയോഗങ്ങള്‍ എന്നിവയാണ്.

സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണീകരണ ജ്യാമിതി

യൂക്ലിഡ് ചില സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണങ്ങളും നിര്‍വ്വാദസങ്കല്പങ്ങളും അടിസ്ഥാനപരവും സ്വയം‌സ്പഷ്ടങ്ങളുമായ ബിന്ദു,രേഖ,തലം എന്നിവയുടെ സ്വഭാവവിശേഷങ്ങളും അവതരിപ്പിച്ചു.എ.ഡി ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഡേവിഡ് ഹില്‍ബെര്‍റ്റ് യൂക്ലീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയെ പരിഷ്ക്കരിയ്ക്കുകയും ആധുനികവല്‍ക്കരിയ്ക്കുകയും ചെയ്തു.

വിശ്ലേഷണജ്യാമിതി

ചില ബീജീയവാചകങ്ങള്‍ ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു എന്ന കാരണത്താലാണ് വിശ്ലേഷണജ്യാമിതി(Analytic Geometry) രൂപം‌കൊണ്ടത്.ഇത്തരം ബീജീയവാചകങ്ങളെ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിയ്ക്കുന്നു.അക്ഷങ്ങളും നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങളും ഇതിനായി ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങള്‍ അതില്‍ നിന്നും Xഅക്ഷത്തിലേയ്ക്കും Yഅക്ഷത്തിലേയ്ക്കും ലംബങ്ങള്‍ വരച്ച് കണ്ടെത്താം.വിശ്ലേഷണജ്യാമിതിയുടെ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങള്‍ ജ്യാമിതീയവിവരണം നല്‍കിയാല്‍ എങ്ങനെ ബീജീയരീതിയില്‍ അതിനെ സൂചിപ്പിയ്ക്കാം എന്നും ബീജീയരീതിയില്‍ സമവാക്യം തന്നാല്‍ എപ്രകാരം ജ്യാമിതിയില്‍ സമവാക്യത്തെ സൂചിപ്പിയ്ക്കാം എന്നതും ആണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വളര്‍ച്ചയില്‍ ഈ ശാഖയ്ക്ക് പ്രധാനസ്ഥാനം കല്പിയ്ക്കുന്നു.എന്തെന്നാല്‍ സംഖ്യകള്‍ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വിശ്ലേഷണം വഴിയും ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളും ഇത് ഏകോപിപ്പിയ്ക്കുന്നു.സംഖ്യകളേയും ബീജീയവാചകങ്ങളേയും ജ്യാമിതിയുടെ പിന്‍ബലത്തോടെ അവതരിപ്പിയ്ക്കുന്ന രീതി കലനശാസ്ത്രത്തിലും ഫലനസിദ്ധാന്തങ്ങളേയും നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാന്‍ അസാദ്ധ്യമായിരുന്ന പല പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കും ഉത്തരം നല്‍കി.വിശ്ലേഷണജ്യാമിതിയുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ ത്രിമാനതലത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളേയും ഇതിനു മുകളിലുള്ള വിമകളേയും() വിശദീകരിയ്ക്കാന്‍ സാധിയ്ക്കൂ.

പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി

ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളില്‍ ഫലപ്രദമായ പ്രക്ഷേപണങ്ങള്‍ നടത്തി രൂപപ്പെട്ടതാണ് പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി(Projective Geometry).പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് ഈ ശാഖ വികസിച്ചത്.ഉദാഹരണത്തിന് കോണികങ്ങള്‍\കോണികങ്ങളില്‍ പ്രക്ഷേപണങ്ങള്‍ നടത്തിയാല്‍ പരസ്പരം രൂപം മാറുന്നു.അവയുടെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിലാണ് ഇത്തരം മാറ്റങ്ങള്‍ പ്രകടമാവുന്നത്.ഒരു വൈദ്യതദീപം ഭിത്തിയില്‍ പതിപ്പിച്ചാല്‍ സ്വാഭാവികമായും വൃത്തരൂപം ആണ് ദൃശ്യമാവുക്ക.എന്നാല്‍ ഇത് ലംബമായാണ് പതിപ്പിയ്ക്കുന്നതെങ്കില്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തം ആണ് പ്രകടമാവുക.

എന്നാല്‍ പ്രക്ഷേപണത്തിനനുസരിച്ച് ചില സവിശേഷതകള്‍ക്ക് മാറ്റം വരുന്നില്ല.ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു വൃത്തത്തിലെ ആറ് ബിന്ദുക്കളാണ് A,B,C,E,F,G.AയുംDയും, BയുംEയും CയുംFഉം തമ്മില്‍ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഈ മൂന്നുരേഖകളും കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കള്‍ ഒരു നേര്‍രേഖയിലായിരിയ്ക്കും.എന്നാല്‍ ഈ സ്വഭാവം പ്രക്ഷേപണം വഴി രൂപംകൊള്ളുന്ന ദീര്‍ഘവൃത്തത്തില്‍ വ്യത്യാസമുണ്ടായിരിയ്ക്കുകയില്ല.മറ്റൊരുദാഹരണം പരിഗണിയ്ക്കുക.ഏതു കോണികത്തിലും വരയ്ക്കുന്ന ആറ് സ്പര്‍ശകങ്ങളും അതിന്റെ വിപരീതബിന്ദുക്കളും യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഈ രേഖകളെല്ലാം കൂട്ടിമുട്ടുന്നത് ഒരു ബിന്ദുവില്‍ മാത്രമായിരിയ്ക്കും.പ്രക്ഷേപണത്തിനനുസരിച്ച് ഈ സ്വഭാവത്തില്‍ വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല.

ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി

ദൂഷിക(Scale/Straightedge), വൃത്തലേഖിനി (Compass) എന്നിവയാണ് ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ രചനക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്ന ഉപകരണങ്ങള്‍.

അവലംബം

Encarta Reference Library Premium 2005