"ഗണിതീയ ആഗമനം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
(ചെ.) (1 പതിപ്പ്) |
No edit summary |
||
| (മറ്റൊരു ഉപയോക്താവ് ചെയ്ത ഇടയ്ക്കുള്ള ഒരു നാൾപ്പതിപ്പ് പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നില്ല) | |||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
ധനപൂർണ്ണചരങ്ങളെ സം‌ബന്ധിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട രീതിയാണ് '''ഗണിതീയ ആഗമനം''' (Mathematical Induction). എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് തെളിവ് നൽകുന്നത്.അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള പ്രസ്താവനകളിൽ ആദ്യത്തേത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. ശേഷം ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രസ്താവന യുക്തിസഹിതം ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ച് അതിനടുത്ത പ്രസ്താവനയും ഇക്കാരണങ്ങളാൽ തന്നെ ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. | |||
== ചരിത്രം == | == ചരിത്രം == | ||
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള | ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ആദ്യകാലതെളിവുകൾ [[യൂക്ലിഡ്]], [[ഭാസ്കരാചാര്യൻ|ഭാസ്കരൻ]] എന്നിവർ നൽകി. [[അഭാജ്യസംഖ്യ|അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ]] എണ്ണം അനന്തമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാണ് യൂക്ലിഡ് ഈ രീതി അവലംബിച്ചത്. [[സമാന്തരഅനുക്രമം]]കണ്ടെത്താനുള്ള ആദ്യതെളിവ് അൽ-കറാജി എ.ഡി1000-ത്തോടടുത്ത് തന്റെ ''അൽ-ഫക്രി''യിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.ഇദ്ദേഹമാണ് ഗണിതീയ ആഗമനത്തിന്റെ 2 അടിസ്ഥാനഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചത്.ഈ ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ്. | ||
n ഒരു | n ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയായാൽ | ||
#n=1ന് പ്രസ്താവന ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക | #n=1ന് പ്രസ്താവന ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക | ||
#n=k-1 ന് പ്രസ്താവന | #n=k-1 ന് പ്രസ്താവന ശരിയെങ്കിൽ n=k ക്കും തുടർ‌ന്നുവരുന്ന എല്ലാ എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണെന്ന് വ്യുല്പാദിക്കുക | ||
ഇദ്ദേഹം [[ദ്വിപദപ്രമേയം]](Binomial Theorem), [[പാസ്ക്കലിന്റെ ത്രികോണം]] ഇവ | ഇദ്ദേഹം [[ദ്വിപദപ്രമേയം]](Binomial Theorem), [[പാസ്ക്കലിന്റെ ത്രികോണം]] ഇവ തെളിയിക്കാൻ ഈ രീതി അവലംബിച്ചു. കൂടാതെ [[പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘനം|പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളുടെ]] [[തുക]] കണ്ടുപിടിക്കാനും ഗണിതീയ ആഗമനം ആണ് അവലംബിച്ചത്. | ||
== ഉദാഹരണം == | == ഉദാഹരണം == | ||
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ച് n(n+1)/2 എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ | ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ച് n(n+1)/2 എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാം. | ||
<!--visbot verified-chils-> | |||
10:19, 26 സെപ്റ്റംബർ 2017-നു നിലവിലുള്ള രൂപം
ധനപൂർണ്ണചരങ്ങളെ സം‌ബന്ധിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട രീതിയാണ് ഗണിതീയ ആഗമനം (Mathematical Induction). എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് തെളിവ് നൽകുന്നത്.അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള പ്രസ്താവനകളിൽ ആദ്യത്തേത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. ശേഷം ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രസ്താവന യുക്തിസഹിതം ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ച് അതിനടുത്ത പ്രസ്താവനയും ഇക്കാരണങ്ങളാൽ തന്നെ ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.
ചരിത്രം
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ആദ്യകാലതെളിവുകൾ യൂക്ലിഡ്, ഭാസ്കരൻ എന്നിവർ നൽകി. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാണ് യൂക്ലിഡ് ഈ രീതി അവലംബിച്ചത്. സമാന്തരഅനുക്രമംകണ്ടെത്താനുള്ള ആദ്യതെളിവ് അൽ-കറാജി എ.ഡി1000-ത്തോടടുത്ത് തന്റെ അൽ-ഫക്രിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.ഇദ്ദേഹമാണ് ഗണിതീയ ആഗമനത്തിന്റെ 2 അടിസ്ഥാനഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചത്.ഈ ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ്. n ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയായാൽ
- n=1ന് പ്രസ്താവന ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക
- n=k-1 ന് പ്രസ്താവന ശരിയെങ്കിൽ n=k ക്കും തുടർ‌ന്നുവരുന്ന എല്ലാ എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണെന്ന് വ്യുല്പാദിക്കുക
ഇദ്ദേഹം ദ്വിപദപ്രമേയം(Binomial Theorem), പാസ്ക്കലിന്റെ ത്രികോണം ഇവ തെളിയിക്കാൻ ഈ രീതി അവലംബിച്ചു. കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കാനും ഗണിതീയ ആഗമനം ആണ് അവലംബിച്ചത്.
ഉദാഹരണം
ഗണിതീയ ആഗമനം ഉപയോഗിച്ച് n(n+1)/2 എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാം.