അവാസ്തവികസംഖ്യ

Imaginary number

Imaginary number

<math>\ldots</math> (repeats the pattern from blue area)

<math>i^{-3} = i\,</math>

<math>i^{-2} = -1\,</math>

<math>i^{-1} = -i\,</math>

<math>i^0 = 1\,</math>

<math>i^1 = i\,</math>

<math>i^2 = -1\,</math>

<math>i^3 = -i\,</math>

<math>i^4 = 1\,</math>

<math>i^5 = i\,</math>

<math>i^6 = -1\,</math>

<math>\ldots</math> (repeats the pattern from blue area)

ഋണസംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തേയാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യ (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. സമ്മിശ്രസംഖ്യയില്‍ i ഗുണോത്തരമായി ചേര്‍ന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാള്‍ ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിര്‍വ്വചിച്ചത് 1572ല്‍ റാഫേല്‍ ബോംബെല്ലി ആണ്. ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ ദെക്കാര്‍ത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്‍ എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. എന്നാല്‍ ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. 0 ആണ് രേഖീയസംഖ്യയും അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ.

ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം

പ്രമാണം:Complex conjugate picture.svg

സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ലംബനിര്‍ദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.

സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയില്‍ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ല്‍ X അക്ഷത്തില്‍ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് അവാസ്തവിക അക്ഷം എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലില്‍ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i ²=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാല്‍ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു.

പ്രയോഗങ്ങള്‍

അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രധാനമായും സിഗ്നല്‍ പ്രോസസിംഗ്, കണ്‍ട്രോള്‍ സിദ്ധാന്തം, വിദ്യുത്കാന്തികം, ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം, കാര്‍ട്ടോഗ്രഫി എന്നീ മേഖലകളിലാണ്. ഇലക്ട്രികല്‍ എന്‍ജിനീയറിംഗില്‍ ഒരു ബാറ്ററി ഉണ്ടാക്കുന്ന വോള്‍ട്ടേജ് ആയതി എന്ന രേഖീയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. എന്നാല്‍ AC വോള്‍ട്ടേജ് ആയതി, ഫേസ് എന്നീ 2 അളവുകളുപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. വോള്‍ട്ടേജിന് 2 വിമകളുണ്ട്. 2 വിമകളുള്ള ഒരു തലത്തെ ഗണിതീയമായി വെക്റ്റര്‍ ഉപയോഗിച്ചോ സമ്മിശ്രസംഖ്യയുപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കാം. വെക്റ്റര്‍ അവതരണത്തില്‍ X,Y എന്നീ സമകോണീയ നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. എന്നാല്‍ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ രേഖീയസംഖ്യാഭഅഗവും അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗവും ഉണ്ടായിരിക്കും. സമ്മിശ്രസംഖ്യ, ശുദ്ധഅവാസ്തവികസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗം ആയതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ ഫേസ് 90° ആയിരിക്കും.

ചരിത്രം

ദെക്കര്‍ത്തേയാണ് ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം 1637ല്‍ അവതരിപ്പിച്ചത്. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ഇതിനുമുന്‍പുതന്നെ 1500കളില്‍ ഗെറോലാമോ കാര്‍ഡേനോ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. എന്നാല്‍ ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത് ലിയോനാര്‍ഡ് ഓയ്‌ലര്‍ (1707–1783), കാള്‍ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) എന്നിവര്‍ക്ക് ശേഷമാണ്.

iയുടെ കൃതികള്‍

iയുടെ കൃതികള്‍ ആവര്‍ത്തനങ്ങളാണ്.

<math>\ldots</math>

<math>i^{-3} = i\,</math>

<math>i^{-2} = -1\,</math>

<math>i^{-1} = -i\,</math>

<math>i^0 = 1\,</math>

<math>i^1 = i\,</math>

<math>i^2 = -1\,</math>

<math>i^3 = -i\,</math>

<math>i^4 = 1\,</math>

<math>i^5 = i\,</math>

<math>i^6 = -1\,</math>

<math>\ldots</math>

ഇതിനെ ഇപ്രകാരം ഏതൊരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ nനും ഒരു ശ്രേണിയായി സൂചിപ്പിക്കാം.

<math>i^{4n} = 1\,</math>

<math>i^{4n+1} = i\,</math>

<math>i^{4n+2} = -1\,</math>

<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>

അപ്രകാരം :<math>i^n = i^{n \bmod4}.\,</math> എന്ന തീരുമാനത്തിലെത്താം.