സമവാക്യം (ഗണിതശാസ്ത്രം)
ഈ ലേഖനം ഏതെങ്കിലും സ്രോതസ്സുകളിൽ നിന്നുള്ള വേണ്ടത്ര തെളിവുകളെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നില്ല. ദയവായി യോഗ്യങ്ങളായ സ്രോതസ്സുകളിൽ നിന്നുമുള്ള അവലംബങ്ങൾ ചേർത്ത് ലേഖനം മെച്ചപ്പെടുത്തുക. നിലവാരമില്ലാത്ത വസ്തുതകൾ ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുകയും നീക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തേക്കാം. |
ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, രണ്ട് വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍ തുല്യങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന പ്രതീകാത്മമകപ്രസ്താവനയാണ് സമവാക്യം അഥവാ സമീകരണം (Equation) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.
സമീകരണം സംഖ്യകള്‍ മാത്രമുള്ളതോ, അക്ഷരങ്ങള്‍ അടങ്ങിയ സമതയോ ആവാം. ഒരു സമവാക്യത്തില്‍ തുല്യത കാണിക്കുന്നതിനായി, = എന്ന സമചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 2 + 3 = 5 എന്നത് സാംഖ്യികസമതയാണ് (Numerical Equation); x(x − 1) = x2 − x എന്നത് ഒരു സാക്ഷരസമതയും (Literal Equation) ആണ്. വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ ഏതൊരംഗത്തിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സമവാക്യം ഒരു സദാസത്യസമകം (Identity) കൂടിയാണ്. എന്നാല്‍, x2 − x = 0 എന്ന സമത പരിഗണിച്ചാല്‍, 0,1 എന്നീ രണ്ട് വിലകള്‍ ഒഴിച്ച്, മറ്റൊരു സംഖ്യക്കും ഈ സമത സത്യമല്ല എന്നു കാണാം. അതിനാല്‍ ഇതൊരു സദാസത്യസമത അല്ല; ഒരു സമവാക്യം മാത്രമാണ്. ഒരു സമവക്യത്തില്‍ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവാം.
സവിശേഷതകള്‍
ബീജഗണിതത്തില്‍ ഒരു സമവാക്യം സദാസത്യമാണെന്ന് പറയണമെങ്കില്‍
- ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശവും കൂട്ടിയാലോ,
- ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശത്തുനിന്നും കുറച്ചാലോ,
- ഏത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും ഗുണിച്ചാലോ,
- പൂജ്യമല്ലാത്ത എത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും ഹരിച്ചാലോ, അല്ലെങ്കില്‍,
- പൊതുവേ, ഏതു ഫലനവും സമത്തിന് ഇരുവശത്തും സംയോജിപ്പിച്ചാലോ സമതയുടെ ഇരുവശത്തെ വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ വില തുല്യമായിരിക്കണം. എന്നാല്‍, ഇപ്രകാരം ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുമ്പോള്‍ വേറൊരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കപ്പെടും.
മേല്‍ക്കാണിച്ചിരിക്കുന്ന, 1 മുതല്‍ 4 വരെയുള്ള സവിശേഷതകളുള്ള ഒരു സമത, അതിന്റെ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു സര്‍വ്വസമബന്ധമാണ്. അപ്രകാരം എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉള്ള ഒരു മണ്ഡലം, വാസ്തവികസംഖ്യാഗണമാണ്. എന്നാല്‍, എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണമോ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണമോ എല്ലാ സമവാക്യസവിശേഷതകളും പാലിക്കുന്നില്ല.
നിര്‍ദ്ധാരണം
ഒരു സമതയിലെ ചരങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതക്രീയയാണ് സമവാക്യനിര്‍ദ്ധാരണം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ആ വിലകളെ, സമതയുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ (Roots) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരേ മൂല്യങ്ങള്‍ ഉള്ള സമതകള്‍ തുല്യസമതകളാണ് (Equivalent Equations). x2 = 3x - 2 എന്ന സമതയുടേയും x2 + 2 = 3x എന്ന സമതയുടെയും രണ്ടു മൂല്യങ്ങളും (അതായത്, 1,2 എന്നീ സംഖ്യകള്‍) തുല്യങ്ങളാണ്. അതുകൊണ്ട് അവ തുല്യസമതകളാണ്.
ഒരു സമതയെ അതിന്റെ തുല്യസമതകള്‍ കൊണ്ട് തുടര്‍ച്ചയായി മാറ്റി ലഘൂകരിച്ചു കൊണ്ട് നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത്. സമതകള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന് സാധാരണ താഴെക്കാണുന്ന ഉപായങ്ങള്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നു:
- തുല്യസമതകള്‍കൊണ്ടുള്ള പുന:സ്ഥാപനം. (x+1)2 = 2x + 5 എന്ന സമതയെ x2+ 2x +1 = 2x + 5 എന്ന് മാറ്റാം.
- സമതയിലെ പദങ്ങള്‍ ഇരുവശത്തേക്കും ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട്. x2+ 2x +1 = 2x + 5 എന്നത്, x2+ 2x +1 - 2x - 5 = 0 എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍ നിന്ന് x2 - 4 = 0 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യസമതയുടെ തുല്യസമതയാണ്.
- സമതയുടെ ഇരുവശത്തും ഒരേ സംഖ്യകൊണ്ടോ, ഒരേ വ്യഞ്ജകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്തുകൊണ്ടോ; എന്നാല്‍ ഇപ്രകാരം ചെയ്യുമ്പോള്‍, വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍, പൂജ്യമായിത്തീരാന്‍ സാധിക്കുന്നവയായിരിക്കരുത്; അത് പുതിയ തുല്യസമതയെ സൃഷ്ടിക്കുകയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, (x+2) (x-1) = 4 (x-1) എന്ന സമതയെ, (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു വിഭജിക്കുമ്പോള്‍, x+2 = 4 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന് x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്, എന്നാല്‍ ആദ്യസമതയ്ക്ക്, X=1 എന്ന മറ്റൊരു മൂല്യം കൂടിയുണ്ട്. അതുപോലെ, x+2 = 4 എന്ന സമത നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍, സമതയുടെ ഇരുവശത്തും (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന പുതിയ സമതയ്ക്ക്, x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യമാത്രമുള്ള ആദ്യസമതയേക്കാള്‍, x=1 എന്ന ഒരു മൂല്യം കൂടുതലായുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, സമതകള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍, ഇങ്ങനെ ആദ്യസമതയുടേ മൂല്യങ്ങള്‍ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കുവാനും, പുതിയ മൂല്യങ്ങള്‍ അധികമായി വന്നു ചേരാതിരിക്കുവാനും സവിശേഷം ശ്രദ്ധിക്കണം.
- അതുപോലെ ഒരു സമതയുടെ ഇരുവശവും ഒരു കൃത്യങ്കം കൊണ്ട് ഉയര്‍ത്തുവാനും, ഒരേപോലെ മൂലനിര്‍ണയം ചെയ്യുവാനും കഴിയും. എന്നാല്‍, അപ്രകാരം കിട്ടുന്ന സമതകള്‍ തുല്യങ്ങളായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല; ഉദാഹരണത്തിന്, 2x=6 എന്ന സമതയ്ക്, x=3 ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്; എന്നാല്‍, (2x)2=36 എന്ന സമതയ്ക്ക്, x= 3, -3 എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സവിശേഷത പ്രധാനമായും ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കണം.
വര്‍ഗ്ഗീകരണം
ഇരുവശത്തും ഏകപദങ്ങളോ(Mononomial), ബഹുപദങ്ങളോ (Polynomial) മാത്രമുള്ള ഒരു സമതയാണ് ബീജീയസമതകള്‍ (Algebraic Equations). bx+ay2 = xy + 2m എന്ന സമത, രണ്ടു ചരങ്ങളിലുള്ള ഒരു ബീജീയസമതയാണ്; എന്നാല്‍, bx+ay2 = xy + 2x ഒരു ബിജീയസമതയല്ല; കാരണം, 2x എന്നത് ഒരു ഏകപദമല്ല.
ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു ബീജീയസമതയിലെ പദങ്ങളിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ഉയര്‍ന്ന തുക, ആ ബിജീയസമതയുടെ കൃതി (Degree) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങള്‍: 4x3 + 2x2 - 17x = 4x3 - 8 എന്ന സമത ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍, 2x2 - 17x + 8 = 0 എന്നു കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട്, മേല്‍സമതയുടെ കൃതി രണ്ടാണ് ; a4x+b5=c5 എന്ന സമതയുടെ കൃതി 1 ആണ് ; a2x5+bx3y3-a8xy4-2=0 എന്ന ദ്വിചരസമതയിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളായ എന്നിവയുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കൂടിയ തുക 6 ആണ് ( ആദ്യപദത്തിലും, മൂന്നാം പദത്തിലും). അതുകൊണ്ട്, സമതയുടെ കൃതി 6 ആണ്.
നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍, ഒരു ബിജീയസമവാക്യമായി ലഘൂകരിക്കപ്പെടുന്ന സമതകളും ബീജീയസമതകളായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്. (x+1)/(x-1) = 2x എന്ന സമത രണ്ടാം കൃതിയുള്ള സമതയാണ്. ലഘൂകരിക്കുമ്പോള്‍, 2x2 -3x-1 = 0 എന്നതുല്യസമത ലഭിക്കുന്നു.
എത്രതന്നെ അജ്ഞാതചരങ്ങള്‍ ഉണ്ടായാലും, കൃതി ഒന്നായ സമതകളെ, രേഖീയസമതകള്‍ (Linear Equations)എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഫലകം:ബീജഗണിതം-അപൂര്‍ണ്ണം
ar:معادلة رياضية be-x-old:Раўнаньне bg:Уравнение bn:সমীকরণ bs:Jednačina ca:Equació cs:Rovnice cy:Hafaliad da:Ligning de:Gleichung el:Εξίσωση eml:Equaziån en:Equation eo:Ekvacio es:Ecuación et:Võrrand eu:Ekuazio fa:معادله fi:Yhtälö fiu-vro:Võrrand fr:Équation (mathématiques) gl:Ecuación he:משוואה hi:समीकरण hr:Jednadžba hu:Egyenlet ia:Equation id:Persamaan io:Equaciono is:Jafna it:Equazione ja:方程式 ka:განტოლება ko:방정식 la:Aequatio lmo:Equazziun lo:ສົມຜົນ lt:Lygtis mr:समीकरण ms:Persamaan nl:Vergelijking (wiskunde) nn:Likning no:Ligning (matematikk) pl:Równanie (matematyka) pms:Equassion pt:Equação qu:Paqtachani ro:Ecuaţie ru:Уравнение sah:Тэҥнэбил scn:Iquazzioni sh:Jednačina simple:Equation sk:Rovnica (matematika) sl:Enačba sq:Ekuacioni sr:Једначина sv:Ekvation ta:சமன்பாடு th:สมการ tr:Denklem uk:Рівняння vi:Phương trình vls:Vergelykinge (wiskunde) yi:גלייכונג yo:Ìṣedọ́gba zh:方程