MATHEMATICS

\begin{center}\Huge {പൈതഗോറസ് തത്വം : ഒരു പുനര്‍വായന}\end{center} \begin{center} പി. എ ജോണ്‍ , ‌\english {HIBHS}\mal വരാപ്പുഴ ‌\end{center} നമ്മുടെ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലൂടെ പൈതഗോറസ് തത്വത്തെ വീണ്ടും വായിക്കുകയാണ്. മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം മറ്റുരണ്ട് വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയായിരിക്കും. ഇതാണ് പൈതഗോറസ് തത്വം എന്ന പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്ന ഗണിതാശയം. പ്രൈമറിക്ലാസുകളില്‍ തുടങ്ങുന്നു ഈ പഠനം. പൈതഗോറസ് തത്വത്തിന് ഒരു ആസ്വാദനക്കുറിപ്പ് തയ്യാറാക്കാന്‍ സമീപഭാവിയില്‍ കണക്കിലെചോദ്യമായി നമ്മുടെമുന്നില്‍എത്തിയേക്കാം ഗണിതാശയങ്ങളുടെ ആസ്വാദനം അടിസ്ഥാനപരമായി യുക്തിവിചാരമാണ്.\\ ‌‌ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവുമൊക്കെ അനുയോജ്യമായി ചേര്‍ത്ത് പലതരത്തില്‍ പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാം. \begin{center}\includegraphics[scale=1.0]{5.eps}\end{center} ചിത്രത്തില്‍ രണ്ട് സമചതുരങ്ങള്‍ കാണാം. ഒന്നിന്റെ അകത്ത് ഒരു പ്രത്യേകരീതിയാലാണ് രണ്ടാമത്തേത് വരച്ചിരിക്കുന്നത്. ഇത് കാര്‍ഡ്ബോഡില്‍ വരച്ച് നാല് മട്ടത്രികോണങ്ങള്‍ മുറിച്ചെടുക്കാം. അപ്പോള്‍ $c$ വശമായ അകത്തെ സമചതുരം വേറെ കിട്ടും . നാല് മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവും $c$ വശമായ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും കൂട്ടിയാല്‍ $a+b$ വശമായ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കിട്ടുമല്ലോ.

\begin{center}\includegraphics[scale=1.0]{6.eps}\end{center}

\begin{equation*} (a+b)^2=2a\times b+c^2 \end{equation*} \begin{equation*} a^2+b^2+2ab=2ab+c^2\end{equation*} \begin{equation*} a^2+b^2=c^2 \end{equation*} പൈതഗോറസ് തത്വത്തിന് നല്‍കാവുന്ന വളരെ ലളിതമായ ഒരു തെളിവാണിത് . പരപ്പളവുപയോഗിച്ച് പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാന്‍ വേറെയും രീതികളുണ്ട് . \\എട്ടാംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിലാണ് ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നത് .ഒരു പ്രത്യേകതരം ലംബകം പരിഗണിച്ചുകൊണ്ട് അതിന്റെ പരപ്പളവുമായി ചേര്‍ത്തുവെച്ച് പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാം. \\ സമാന്തരവശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലം സമാന്തരവശങ്ങളുടെ തുകയായിവരുന്ന ലംബകം പരിഗണിക്കുക

\begin{center}\includegraphics[scale=1.0]{7.eps}\end{center}ചിത്രത്തില്‍ $ABCD$ ലംബകമാണ്. ഈ ലംബകം വരച്ചിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ. സമാന്തരവശങ്ങളുടെ നീളം $a,b$ വീതമാണ്. സമാന്തരവശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലം $a+b$ആണ്. ത്രികോണം $BAP$ത്രികോണം $DCP$യും തുല്യത്രികോണങ്ങളാണ്. ത്രികോണം $BPD$സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണമാണ്.ഈ മൂന്നുത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ  തുക ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവുമായി തുലനം ചെയ്യാം. 

\begin{equation*}‌\frac{1}{2}\times(a+b)\times(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c\times a \end{equation*} \begin{equation*}(a+b)^2=2ab+c^2 \end{equation*} \begin{equation*}a^2+b^2+2ab=2ab+c^2 \end{equation*} \begin{equation*}a^2+b^2=+c^2 \end{equation*} ഇത് പൈതഗോറിയന്‍ ബന്ധം തന്നെയാണ് .മറ്റുചില ലളിതമായ തെളിവുകള്‍ പാഠപുസ്തകത്തിലുണ്ട് . ഈ തെളിവുകള്‍ കൂട്ടുകാര്‍ നല്ല പ്രവര്‍ത്തനമാതൃകളാക്കി വികസിപ്പിച്ചെടുക്കുമല്ലോ. \\ ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ സദൃശ്യത്രികോണങ്ങളുമായി ചേര്‍ത്തുവെച്ചുകൊണ്ട് പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാം. \begin{center}\includegraphics[scale=1.0]{8.eps}\end{center} ഈ ചിത്രത്തില്‍ $BD$എന്ന വര $AC$എന്ന വരയ്ക്ക് ലംബമാണ് . ത്രികോണം $ABC$മട്ടത്രികോണവുമാണ്. ത്രികോണം $ABC$, ത്രികോണം $ABD$എന്നിവ സദൃശത്രികോണങ്ങളാണല്ലോ.അതിനാല്‍ തുല്യമായ കോണുകള്‍ക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗം പരപ്പളവിന് ആനുപാതികമാണ്. \begin{equation*}\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{Area \triangle ADB}{Area \triangle ABC} \end{equation*} \begin{equation*}\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{Area \triangle BCD}{Area \triangle ABC} \end{equation*} ഈ സമവാക്യങ്ങള്‍ കൂട്ടിയാല്‍ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഫലത്തിലെത്താം \begin{equation*}\frac{AB^2+BC^2}{AC^2}=1 \end{equation*} \begin{equation*}AB^2+BC^2=AC^2 \end{equation*} പൈതഗോറിയന്‍ സംഖ്യാത്രയങ്ങളെക്കുറിച്ച് കേട്ടിരിക്കുമല്ലോ. $a^2+b^=c^2$എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന എണ്ണല്‍സംഖ്യകളാണ് ഇവ. പൈതഗോറിയന്‍സ് എന്ന പേരിലറിയപ്പെട്ടിരുന്ന ബൗദ്ധീകകൂട്ടായ്മ ഇത്തരം സംഖ്യകള്‍ കണ്ടെത്തുന്നതില്‍ തല്പരരായിരുന്നു. ജ്യാമിതീയമായി ഈ സംഖ്യകള്‍ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളായിരുന്നു. ഇന്നും നമ്മുടെ ആശാരിമാര്‍ ഒരു വരയ്ക്ക് കുത്തനെയുള്ള വര വരക്കുന്നതിന് പൈതഗോറിയന്‍ സംഖ്യാത്രയങ്ങളുടെ തനതുസവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആധുനീക ഗണിതരീതിയില്‍ ഇത്തരം സംഖ്യാത്രയങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുന്നതിന് പലമാര്‍ഗ്ഗങ്ങളുണ്ട് . $n$ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ആയാല്‍ \begin{equation*}x=n, y=\frac{1}{2}(n^2-1), z=\frac{1}{2}(n^2+1) \end{equation*}എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന $x,y,z$എന്നീ സംഖ്യകള്‍ പൈതഗോറിയന്‍ സംഖ്യാത്രയങ്ങളാണ് . \begin{equation*}x=4n, y= 4n^2-1, z=4n^2+1\end{equation*} എന്നിവയും പൈതഗോറിയന്‍ സംഖ്യാത്രയങ്ങളാണ്. ‌‌\\ ഗണിതത്തെ കേവലം ന്യൂമറോളജിയില്‍നിന്നും യുക്തിഭദ്രമായ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ തലത്തിലേയ്ക്ക് ഉയര്‍ത്തിയതില്‍ ബി.സി $300$നോടുത്ത് രചിക്കപ്പെട്ട എലിമെന്റസ് എന്ന മഹാഗ്രന്ഥത്തിന് വ്യക്തമായ ഭാഗധേയമുണ്ട് . പതിമൂന്ന് പുസ്തകങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണിത്. ഗണിതത്തില്‍ വസ്തുതകളെ യുക്തിപരമായി സമര്‍ത്ഥിക്കുന്നതിന് തെളിവുകളുടെ സുതാര്യത യൂക്ലിഡിന്റെ എലിമെന്റസില്‍ ഉറപ്പുവരുത്തുന്നു. പത്താമത്തെ പുസ്തകത്തില്‍ പൈതഗോറിയന്‍സംഖ്യാത്രയങ്ങളെ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്. ‌‌‌‌\\ $t,a,b$എന്നിവ എണ്ണല്‍സംഖ്യകളാണ്, $a$എന്ന സംഖ്യ $b$യേക്കാള്‍ വലുതായിരിക്കണം, $a$യ്ക്കും $b$യ്ക്കും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകം ഉണ്ടായിരിക്കരുത് ,ഇവയില്‍ ഒരെണ്ണം ഒറ്റയും മറ്റേത് ഇരട്ടയുമായിരിക്കണം. ഈ വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ച് \begin{equation*}x=t(a^2-b^2), y=2tab, z=t(a^2+b^2)\end{equation*}എന്ന തരത്തിലുള്ള $x,y,z$എന്ന സംഖ്യകള്‍ പൈതഗോറിയന്‍ സംഖ്യാത്രയങ്ങളാണ് . പൈതഗോറസ് തത്വത്തിന് വളരെ സ്വാഭാവികമായ ഒരു സാമാന്യവല്‍ക്കരണം സാധ്യമാണ് .താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം നേക്കുക \begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{9.eps}\end{center} ‌‌ $x,y,z$എന്നീ സൂചകാക്ഷങ്ങള്‍ വരച്ച് $A(a,0,0), B(0,b,0),C(0,0 c$എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.ത്രികോണം $OBC$,ത്രികോണം $OAC$,ത്രികോണം $OAB$, ത്രികോണം $ABC$എന്നിവയുടെ പരപ്പളവുകള്‍ $P, Q, R, S$ആയാല്‍ \begin{equation*}P^2+Q^2+R^2=S^2\end{equation*}എന്ന് തെളിയിക്കാം. മട്ടത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശം ചേര്‍ത്തുവരക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തുവരക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയാണെന്ന പൈതഗോറസ് തത്വം ത്രിമാനജ്യാമിതിയിലേയ്ക്ക് മാറ്റിയെഴുതിയതല്ലേ ഇത് ഇക്കാര്യം തെളിയിക്കുന്നതിനൊപ്പം താഴെയുള്ള അന്വേഷണവും പൂര്‍ത്തിയാക്കുക \\ \begin{equation*}‌\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}\end{equation*}എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന $a,b,c$എന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണല്‍സംഖ്യാത്രയങ്ങളെ കണ്ടെത്തുക. പൈതഗോറസ് തത്വത്തിന്റെ പുനര്‍വായനയിലെ ഒരു തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനം മാത്രമാണിത് \\ \begin{equation*}‌a^2+b^2=c^2\end{equation*}ആയാല്‍ ഇരുവശവും $a^2\times b^2\times c^2$കൊണ്ട് ഹരിച്ച് \begin{equation*}‌\frac{a^}{a^2b^2c^2}+\frac{b^2}{a^2b^2c^2}=\frac{c^2}{a^2b^2c^2}\end{equation*}എന്നെഴുതാമല്ലോ. \begin{equation*}‌\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{a^2c^2}=\frac{1}{a^2b^2}\end{equation*} \begin{equation*}‌\frac{1}{(bc)^2}+\frac{1}{(ac)^2}=\frac{1}{(ab)^2}\end{equation*} ഉദാഹരണമായി , $3^2+4^2=5^2$എന്നെഴുതി അതില്‍നിന്നും \begin{equation*}‌\frac{1}{20^2}+\frac{1}{15^2}=\frac{1}{12^2}\end{equation*}ആകുന്നു. $(20.15,12)$ഇത്തരം ഒരു സംഖ്യാത്രയമാണ്