18,998
തിരുത്തലുകൾ
"ഗണം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
തിരുത്തലിനു സംഗ്രഹമില്ല
No edit summary |
No edit summary |
||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
[[ചിത്രം:Venn A intersect B.svg|200px|thumb|രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ സംഗമം സൂചിപ്പിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന | [[ചിത്രം:Venn A intersect B.svg|200px|thumb|രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ സംഗമം സൂചിപ്പിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന വെൻ ഡയഗ്രം]] | ||
ഗണം എന്നത് [[ഗണിതശാസ്ത്രം|ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ]] | '''ഗണം''' എന്നത് [[ഗണിതശാസ്ത്രം|ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ]] അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. [[ഗണസിദ്ധാന്തം]] വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് [[ജോർജ്ജ് കാന്റർ|ജോർജ്ജ് കാന്റർ]] ആണ്. | ||
== | == നിർവ്വചനം == | ||
[[ | [[ജോർജ്ജ് കാന്റർ]] ആണ് ഗണത്തെ നിർവ്വചിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ | ||
"വ്യക്തമായി | "വ്യക്തമായി നിർവ്വചിക്കാൻ കഴിയുന്ന അംഗങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ ഗണം" എന്ന് പറയുന്നു. ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ രാശികളോ വസ്തുക്കളോ ആശയങ്ങളോ ആവാം. | ||
== സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി == | == സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി == | ||
ഗണത്തെ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ | ഗണത്തെ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ {} ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളിൽ നിർവ്വചിക്കുന്നു. അംഗങ്ങളുടെ വിന്യാസം പ്രധാനമായും 3 രീതിയിലാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. | ||
== ചില | == ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ == | ||
* [[ | * [[എണ്ണൽസംഖ്യാഗണം]] {1,2,3.............} | ||
* അഥവാ <math>\mathbb{W}</math> | * അഥവാ <math>\mathbb{W}</math> ധനപൂർണ്ണസംഖ്യ അഥവാ [[അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണം|അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........} | ||
* [[ | * [[പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണം|പൂർണ്ണസഖ്യാഗണം]] {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................} | ||
* [[ഭിന്നകസംഖ്യാഗണം|ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | * [[ഭിന്നകസംഖ്യാഗണം|ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | ||
* [[രേഖീയസംഖ്യാഗണം|രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | * [[രേഖീയസംഖ്യാഗണം|രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | ||
| വരി 18: | വരി 18: | ||
== അംഗത്വം == | == അംഗത്വം == | ||
തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് | തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ '''∈''' അഥവാ''' ∉''' എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. | ||
| വരി 26: | വരി 26: | ||
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ(Cardinality)എന്ന് പറയുന്നു.ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് | | എന്ന ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചാണ്. | ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ(Cardinality)എന്ന് പറയുന്നു.ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് | | എന്ന ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചാണ്. | ||
മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ അനന്തമാണ്.A ={1,2,3,4}എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാൽ |A|=4 ആണെന്ന് കാണാം. | |||
== ഉപഗണം == | == ഉപഗണം == | ||
ഒരു ഗണത്തിലെ | ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങൾ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ അംഗങ്ങളായുള്ള ഗണത്തേയാണ് ഉപഗണം(Subset) എന്ന് പറയുന്നത്.ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് '''<math>\subseteq</math>''' ഇപ്രകാരമാണ്. | ||
<math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം | <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാൽ A={2,4,6,8..........} എന്ന ഗണം <math>\mathbb{N}</math>ന്റെ ഉപഗണമാണെന്ന് പറയാം. | ||
അതായത് A<math>\subseteq</math><math>\mathbb{N}</math> ഉം തിരിച്ച് <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം Aയുടെ അധിഗണം(Superset) ആണെന്നും പറയാം.<math>\mathbb{N}</math><math> \supseteq </math>A | അതായത് A<math>\subseteq</math><math>\mathbb{N}</math> ഉം തിരിച്ച് <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം Aയുടെ അധിഗണം(Superset) ആണെന്നും പറയാം.<math>\mathbb{N}</math><math> \supseteq </math>A | ||
== ഗണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട | == ഗണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിഹ്നങ്ങൾ == | ||
* അംഗമാണ് എന്ന് | * അംഗമാണ് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ. | ||
* {} അംഗങ്ങളെ | * {} അംഗങ്ങളെ വിന്യസിക്കാൻ | ||
* <math>\subseteq</math> ഉപഗണം | * <math>\subseteq</math> ഉപഗണം | ||
* '''∩''' [[സംഗമം]] | * '''∩''' [[സംഗമം]] | ||
| വരി 42: | വരി 42: | ||
== യോഗം == | == യോഗം == | ||
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും | രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ചേർന്ന ഗണം ലഭിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേയും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഗണത്തിൽ വിന്യസിക്കുന്നു. | ||
രണ്ട് | രണ്ട് ഗണങ്ങൾ A യുടേയും B യുടേയും യോഗം A ∪ B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ Aയിലേയോ അല്ലെങ്കിൽ Bയിലേയോ അംഗങ്ങളാവാം. | ||
[[നിബന്ധനാരീതി| | [[നിബന്ധനാരീതി|നിബന്ധനാരീതിയിൽ]] ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം A ∪ B ={x/x∈ A അഥവാ x∈B} | ||
ഉദാഹരണങ്ങൾ: | |||
* {1,3} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള} | * {1,3} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള} | ||
* {1,3,പച്ച} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} ={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} | * {1,3,പച്ച} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} ={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} | ||
* A={1,3,5,.......},B={2,4,6,8..........} | * A={1,3,5,.......},B={2,4,6,8..........} എങ്കിൽ A ∪ B={1,2,3,4,5....................} ആയിരിയ്ക്കും. | ||
=== ചില | === ചില സവിശേഷതകൾ === | ||
* [[ക്രമനിയമം]](Commutative law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ B = B ∪ A | * [[ക്രമനിയമം]](Commutative law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ B = B ∪ A | ||
* [[സാഹചര്യനിയമം]](Associative law) പാലിക്കുന്നു. അതായത് A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C | * [[സാഹചര്യനിയമം]](Associative law) പാലിക്കുന്നു. അതായത് A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C | ||
* A ⊆ (A ∪ B) | * A ⊆ (A ∪ B) | ||
* [[ | * [[വർഗ്ഗസമനിയമം]](Idempotent law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ A = A | ||
* A ∪ ø = A,[[ശൂന്യഗണം|ശൂന്യഗണമാണ്]] | * A ∪ ø = A,[[ശൂന്യഗണം|ശൂന്യഗണമാണ്]] തൽസമകം(Identity element) | ||
== സംഗമം == | == സംഗമം == | ||
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ പൊതുവായുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഗണം സംഗമം എന്ന സംകാരകം വഴി ലഭിക്കുന്നു.രണ്ട് | രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ പൊതുവായുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഗണം സംഗമം എന്ന സംകാരകം വഴി ലഭിക്കുന്നു.രണ്ട് ഗണങ്ങൽ A യുടെയും B യുടേയും സംഗമം A ∩ B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിൽ പൊതുവായ ഒരു അംഗവും ഇല്ലെങ്കിൽ അവയെ വിയുക്തഗണം എന്ന് പറയുന്നു. | ||
നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.A∩B ={x/x∈ A ഉം x∈B} | |||
ഉദാഹരണങ്ങൾ: | |||
* {1,2} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}=ø | * {1,2} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}=ø | ||
* {1,2,പച്ച} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}={പച്ച} | * {1,2,പച്ച} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}={പച്ച} | ||
=== ചില | === ചില സവിശേഷതകൾ === | ||
* ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.A ∩ B = B ∩ A | * ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.A ∩ B = B ∩ A | ||
സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C | സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C | ||
* A ∩ B ⊆ A | * A ∩ B ⊆ A | ||
* | * വർഗ്ഗസമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു, A ∩ A = A | ||
* ശൂന്യഗണമാണ് | * ശൂന്യഗണമാണ് തൽസമകം,A ∩ ø = ø | ||
== പൂരകഗണം == | == പൂരകഗണം == | ||
[[സമസ്തഗണം|സമസ്തഗണത്തിലുള്ളതും]](Universal Set) തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലില്ലാത്തതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെ പൂരകഗണം എന്ന് പറയുന്നു.Aയുടെ പൂരകഗണത്തെ A' എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. | [[സമസ്തഗണം|സമസ്തഗണത്തിലുള്ളതും]](Universal Set) തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലില്ലാത്തതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെ പൂരകഗണം എന്ന് പറയുന്നു.Aയുടെ പൂരകഗണത്തെ A' എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. | ||
നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം. | |||
A'={x/x∉A } | A'={x/x∉A } | ||
== | == കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം == | ||
=== ക്രമിതജോടി === | === ക്രമിതജോടി === | ||
ഒരു ക്രമിതജോടി | ഒരു ക്രമിതജോടി എന്നാൽ നിശ്ചിതക്രമം പാലിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്. (a,b) എന്നത് ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതുമായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a ആദ്യത്തേയും b രണ്ടാമത്തേയും സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | ||
(a,b)=(a',b') എന്നത് a=a' നേയും b=b'നേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | (a,b)=(a',b') എന്നത് a=a' നേയും b=b'നേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | ||
ജോടിയും ഗണവും തമ്മിലുള്ള പ്രധാനവ്യത്യാസവും ഇതുതന്നെയാണ്. അതായത് ജോടി ഒരു നിശ്ചിതക്രമം സംഖ്യകളെ | ജോടിയും ഗണവും തമ്മിലുള്ള പ്രധാനവ്യത്യാസവും ഇതുതന്നെയാണ്. അതായത് ജോടി ഒരു നിശ്ചിതക്രമം സംഖ്യകളെ വിന്യസിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഗണത്തിൽ ഇത്തരത്തിലൊരു ക്രമം ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ ഗണത്തിൽ {a,a} എന്നത് അർത്ഥശൂന്യമാണ്. എന്നാൽ (a,a) ഒരു അർത്ഥവത്തായ ജോടിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | ||
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് പുതിയൊരു ഗണം | ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് പുതിയൊരു ഗണം ഉണ്ടാക്കാൻ കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് ഗണങ്ങൾ Aയുടേയും Bയുടേയും ക്രമിതജോടികളായാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. A X B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിബന്ധനാരീതിയിൽ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം. | ||
A X B= {(x,y)/x∈ A,y∈ B} | A X B= {(x,y)/x∈ A,y∈ B} | ||
Aഎന്ന | Aഎന്ന ഗണത്തിൽ m അംഗങ്ങളും Bഎന്ന ഗണത്തിൽ n അംഗങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ AXB എന്ന ഗണത്തിൽ mXn അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിയ്ക്കും. | ||
ഉദാഹരണങ്ങൾ: | |||
* {1,2} X{ചുവപ്പ്,വെള്ള}={(1,ചുവപ്പ്),(1,വെള്ള),(2,ചുവപ്പ്),(2,വെള്ള)} | * {1,2} X{ചുവപ്പ്,വെള്ള}={(1,ചുവപ്പ്),(1,വെള്ള),(2,ചുവപ്പ്),(2,വെള്ള)} | ||
* {1, 2} X {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} | * {1, 2} X {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} | ||
=== ചില | === ചില സവിശേഷതകൾ === | ||
* A X ∅ = ∅ X A = ∅ | * A X ∅ = ∅ X A = ∅ | ||
* A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C) | * A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C) | ||
* (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C) | * (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C) | ||
<!--visbot verified-chils-> | |||