|
|
| (2 ഉപയോക്താക്കൾ ചെയ്ത ഇടയ്ക്കുള്ള 3 നാൾപ്പതിപ്പുകൾ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നില്ല) |
| വരി 1: |
വരി 1: |
| {{prettyurl|Imaginary number}}
| | [[ഋണസംഖ്യ|ഋണസംഖ്യയുടെ]] വർഗ്ഗമൂലത്തേയാണ് '''അവാസ്തവികസംഖ്യ''' (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. [[മിശ്രസംഖ്യ|സമ്മിശ്രസംഖ്യ]]യിൽ '''i''' ഗുണോത്തരമായി ചേർന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിർവ്വചിച്ചത് 1572ൽ [[റാഫേൽ ബോംബെല്ലി]] ആണ്. ആദ്യകാലങ്ങളിൽ ''ദെക്കാർത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകൾ'' എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. എന്നാൽ ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. '''0''' ആണ് [[രേഖീയസംഖ്യ|രേഖീയസംഖ്യയും]] അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ. |
| {{ആധികാരികത}}
| |
| <div align=right style="float: right; margin-left: 1em">
| |
| {| class="wikitable"
| |
| |-
| |
| |<math>\ldots</math> (repeats the pattern <br />from blue area)
| |
| |-
| |
| |<math>i^{-3} = i\,</math>
| |
| |-
| |
| |<math>i^{-2} = -1\,</math>
| |
| |-
| |
| |<math>i^{-1} = -i\,</math>
| |
| |-
| |
| | style="background:#cedff2;" | <math>i^0 = 1\,</math>
| |
| |-
| |
| |style="background:#cedff2;" | <math>i^1 = i\,</math>
| |
| |-
| |
| |style="background:#cedff2;" | <math>i^2 = -1\,</math>
| |
| |-
| |
| |style="background:#cedff2;" | <math>i^3 = -i\,</math>
| |
| |-
| |
| |<math>i^4 = 1\,</math>
| |
| |-
| |
| |<math>i^5 = i\,</math>
| |
| |-
| |
| |<math>i^6 = -1\,</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\ldots</math> (repeats the pattern <br />from blue area)
| |
| |-
| |
| |}</div>
| |
| [[ഋണസംഖ്യ|ഋണസംഖ്യയുടെ]] വര്ഗ്ഗമൂലത്തേയാണ് '''അവാസ്തവികസംഖ്യ''' (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. [[മിശ്രസംഖ്യ|സമ്മിശ്രസംഖ്യ]]യില് '''i''' ഗുണോത്തരമായി ചേര്ന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വര്ഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാള് ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിര്വ്വചിച്ചത് 1572ല് [[റാഫേല് ബോംബെല്ലി]] ആണ്. ആദ്യകാലങ്ങളില് ''ദെക്കാര്ത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്'' എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. എന്നാല് ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. '''0''' ആണ് [[രേഖീയസംഖ്യ|രേഖീയസംഖ്യയും]] അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ. | |
|
| |
|
| == ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം == | | == ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം == |
| [[ചിത്രം:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകള് ലംബനിര്ദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]] | | [[Image:249px-Complex_conjugate_picture.svg.png|right|thumb|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ ലംബനിർദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]] |
| സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകള് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയില് ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ല് X അക്ഷത്തില് വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലില് -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാല് −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു. | | സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയിൽ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ൽ X അക്ഷത്തിൽ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലിൽ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാൽ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു. |
|
| |
|
| == പ്രയോഗങ്ങള് == | | == പ്രയോഗങ്ങൾ == |
| അവാസ്തവികസംഖ്യകള് പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രധാനമായും സിഗ്നല് പ്രോസസിംഗ്, കണ്ട്രോള് സിദ്ധാന്തം, വിദ്യുത്കാന്തികം, ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം, കാര്ട്ടോഗ്രഫി എന്നീ മേഖലകളിലാണ്. ഇലക്ട്രികല് എന്ജിനീയറിംഗില് ഒരു ബാറ്ററി ഉണ്ടാക്കുന്ന വോള്ട്ടേജ് [[ആയതി]] എന്ന രേഖീയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. എന്നാല് AC വോള്ട്ടേജ്
| | അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രധാനമായും സിഗ്നൽ പ്രോസസിംഗ്, കൺട്രോൾ സിദ്ധാന്തം, വിദ്യുത്കാന്തികം, ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം, കാർട്ടോഗ്രഫി എന്നീ മേഖലകളിലാണ്. ഇലക്ട്രികൽ എൻജിനീയറിംഗിൽ ഒരു ബാറ്ററി ഉണ്ടാക്കുന്ന വോൾട്ടേജ് [[ആയതി]] എന്ന രേഖീയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. എന്നാൽ AC വോൾട്ടേജ് |
| ആയതി, ഫേസ് എന്നീ 2 അളവുകളുപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. വോള്ട്ടേജിന് 2 വിമകളുണ്ട്. 2 വിമകളുള്ള ഒരു തലത്തെ ഗണിതീയമായി വെക്റ്റര് ഉപയോഗിച്ചോ സമ്മിശ്രസംഖ്യയുപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കാം. വെക്റ്റര് അവതരണത്തില് X,Y എന്നീ സമകോണീയ നിര്ദ്ദേശാങ്കങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. എന്നാല് സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോള് രേഖീയസംഖ്യാഭഅഗവും അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗവും ഉണ്ടായിരിക്കും. സമ്മിശ്രസംഖ്യ, ശുദ്ധഅവാസ്തവികസംഖ്യയാണെങ്കില് അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗം ആയതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ ഫേസ് 90° ആയിരിക്കും. | | ആയതി, ഫേസ് എന്നീ 2 അളവുകളുപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. വോൾട്ടേജിന് 2 വിമകളുണ്ട്. 2 വിമകളുള്ള ഒരു തലത്തെ ഗണിതീയമായി വെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ചോ സമ്മിശ്രസംഖ്യയുപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കാം. വെക്റ്റർ അവതരണത്തിൽ X,Y എന്നീ സമകോണീയ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. എന്നാൽ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ രേഖീയസംഖ്യാഭഅഗവും അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗവും ഉണ്ടായിരിക്കും. സമ്മിശ്രസംഖ്യ, ശുദ്ധഅവാസ്തവികസംഖ്യയാണെങ്കിൽ അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗം ആയതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ ഫേസ് 90° ആയിരിക്കും. |
|
| |
|
| == ചരിത്രം == | | == ചരിത്രം == |
| ദെക്കര്ത്തേയാണ് ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം 1637ല് അവതരിപ്പിച്ചത്. അവാസ്തവികസംഖ്യകള് ഇതിനുമുന്പുതന്നെ 1500കളില് ഗെറോലാമോ കാര്ഡേനോ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. എന്നാല് ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത് ലിയോനാര്ഡ് ഓയ്ലര് (1707–1783), കാള് ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) എന്നിവര്ക്ക് ശേഷമാണ്.
| | ദെക്കർത്തേയാണ് ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം 1637ൽ അവതരിപ്പിച്ചത്. അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ ഇതിനുമുൻപുതന്നെ 1500കളിൽ ഗെറോലാമോ കാർഡേനോ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. എന്നാൽ ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത് ലിയോനാർഡ് ഓയ്ലർ (1707–1783), കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) എന്നിവർക്ക് ശേഷമാണ്. |
|
| |
|
| == iയുടെ കൃതികള് ==
| | <!--visbot verified-chils-> |
| iയുടെ കൃതികള് ആവര്ത്തനങ്ങളാണ്.
| |
| :<math>\ldots</math>
| |
| :<math>i^{-3} = i\,</math>
| |
| :<math>i^{-2} = -1\,</math>
| |
| :<math>i^{-1} = -i\,</math>
| |
| :<math>i^0 = 1\,</math>
| |
| :<math>i^1 = i\,</math>
| |
| :<math>i^2 = -1\,</math>
| |
| :<math>i^3 = -i\,</math>
| |
| :<math>i^4 = 1\,</math>
| |
| :<math>i^5 = i\,</math>
| |
| :<math>i^6 = -1\,</math>
| |
| :<math>\ldots</math>
| |
| | |
| ഇതിനെ ഇപ്രകാരം ഏതൊരു പൂര്ണ്ണസംഖ്യ nനും ഒരു ശ്രേണിയായി സൂചിപ്പിക്കാം.
| |
| :<math>i^{4n} = 1\,</math>
| |
| :<math>i^{4n+1} = i\,</math>
| |
| :<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
| |
| :<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
| |
| അപ്രകാരം :<math>i^n = i^{n \bmod4}.\,</math> എന്ന തീരുമാനത്തിലെത്താം.
| |
| {{num-stub|Imaginary number}}
| |
| | |
| [[വര്ഗ്ഗം:ഗണിതം]]
| |
| | |
| [[ar:عدد تخيلي]]
| |
| [[ca:Nombre imaginari]]
| |
| [[da:Imaginære tal]]
| |
| [[de:Imaginäre Zahl]]
| |
| [[el:Φανταστικός αριθμός]]
| |
| [[en:Imaginary number]]
| |
| [[es:Número imaginario]]
| |
| [[fi:Imaginaariluku]]
| |
| [[fr:Nombre imaginaire pur]]
| |
| [[gl:Número imaxinario]]
| |
| [[he:מספר מדומה]]
| |
| [[id:Bilangan imajiner]]
| |
| [[is:Þvertala]]
| |
| [[ko:허수]]
| |
| [[la:Quantitas imaginaria]]
| |
| [[mk:Имагинарен број]]
| |
| [[nl:Imaginair getal]]
| |
| [[pl:Liczby urojone]]
| |
| [[pt:Número imaginário]]
| |
| [[sv:Imaginära tal]]
| |
| [[ta:கற்பனை எண்]]
| |
| [[th:จำนวนจินตภาพ]]
| |
| [[vls:Imaginaire getalln]]
| |
| [[yo:Nọ́mbà tíkòsí]]
| |
| [[zh:虚数]]
| |
| [[zh-yue:純虛數]]
| |
