ഗണം
ഗണം എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളില്‍ ഒന്നാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് ജോര്ജ്ജ് കാന്റര്‍ ആണ്.
നിര്‍വ്വചനം
ജോര്ജ്ജ് കാന്റര്‍ ആണ് ഗണത്തെ നിര്‍വ്വചിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തില്‍ "വ്യക്തമായി നിര്‍വ്വചിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന അംഗങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ ഗണം" എന്ന് പറയുന്നു. ഇതിലെ അംഗങ്ങള്‍ രാശികളോ വസ്തുക്കളോ ആശയങ്ങളോ ആവാം.
സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി
ഗണത്തെ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ {} ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളില്‍ നിര്‍വ്വചിക്കുന്നു. അംഗങ്ങളുടെ വിന്യാസം പ്രധാനമായും 3 രീതിയിലാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍
- എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണം {1,2,3.............}
- അഥവാ <math>\mathbb{W}</math> ധനപൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ അഥവാ അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........}
- പൂര്‍ണ്ണസഖ്യാഗണം {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................}
- ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
- രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
- സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുനാണ് ഈ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
അംഗത്വം
തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ∈ അഥവാ ∉ എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
ഗണനസംഖ്യ
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ(Cardinality)എന്ന് പറയുന്നു.ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് | | എന്ന ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചാണ്.
മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തില്‍ <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ അനന്തമാണ്.A ={1,2,3,4}എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാല്‍ |A|=4 ആണെന്ന് കാണാം.
ഉപഗണം
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ അംഗങ്ങളായുള്ള ഗണത്തേയാണ് ഉപഗണം(Subset) എന്ന് പറയുന്നത്.ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് <math>\subseteq</math> ഇപ്രകാരമാണ്.
<math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാല്‍ A={2,4,6,8..........} എന്ന ഗണം <math>\mathbb{N}</math>ന്റെ ഉപഗണമാണെന്ന് പറയാം.
അതായത് A<math>\subseteq</math><math>\mathbb{N}</math> ഉം തിരിച്ച് <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം Aയുടെ അധിഗണം(Superset) ആണെന്നും പറയാം.<math>\mathbb{N}</math><math> \supseteq </math>A
ഗണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിഹ്നങ്ങള്‍
- അംഗമാണ് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന്‍.
- {} അംഗങ്ങളെ വിന്യസിക്കാന്‍
- <math>\subseteq</math> ഉപഗണം
- ∩ സംഗമം
- ∪ യോഗം
- A' ,Aയുടെ പൂരകഗണം
യോഗം
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ചേര്‍ന്ന ഗണം ലഭിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേയും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഗണത്തില്‍ വിന്യസിക്കുന്നു.
രണ്ട് ഗണങ്ങള്‍ A യുടേയും B യുടേയും യോഗം A ∪ B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇതിലെ അംഗങ്ങള്‍ ഒന്നുകില്‍ Aയിലേയോ അല്ലെങ്കില്‍ Bയിലേയോ അംഗങ്ങളാവാം.
നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം A ∪ B ={x/x∈ A അഥവാ x∈B} ഉദാഹരണങ്ങള്‍:
- {1,3} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള}
- {1,3,പച്ച} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} ={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}
- A={1,3,5,.......},B={2,4,6,8..........} എങ്കില്‍ A ∪ B={1,2,3,4,5....................} ആയിരിയ്ക്കും.
ചില സവിശേഷതകള്‍
- ക്രമനിയമം(Commutative law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ B = B ∪ A
- സാഹചര്യനിയമം(Associative law) പാലിക്കുന്നു. അതായത് A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
- A ⊆ (A ∪ B)
- വര്‍ഗ്ഗസമനിയമം(Idempotent law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ A = A
- A ∪ ø = A,ശൂന്യഗണമാണ് തല്‍സമകം(Identity element)
സംഗമം
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ പൊതുവായുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഗണം സംഗമം എന്ന സംകാരകം വഴി ലഭിക്കുന്നു.രണ്ട് ഗണങ്ങല്‍ A യുടെയും B യുടേയും സംഗമം A ∩ B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളില്‍ പൊതുവായ ഒരു അംഗവും ഇല്ലെങ്കില്‍ അവയെ വിയുക്തഗണം എന്ന് പറയുന്നു.
നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.A∩B ={x/x∈ A ഉം x∈B} ഉദാഹരണങ്ങള്‍:
- {1,2} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}=ø
- {1,2,പച്ച} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}={പച്ച}
ചില സവിശേഷതകള്‍
- ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.A ∩ B = B ∩ A
സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
- A ∩ B ⊆ A
- വര്‍ഗ്ഗസമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു, A ∩ A = A
- ശൂന്യഗണമാണ് തല്‍സമകം,A ∩ ø = ø
പൂരകഗണം
സമസ്തഗണത്തിലുള്ളതും(Universal Set) തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലില്ലാത്തതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെ പൂരകഗണം എന്ന് പറയുന്നു.Aയുടെ പൂരകഗണത്തെ A' എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.
നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം. A'={x/x∉A }
കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ഗുണനഫലം
ക്രമിതജോടി
ഒരു ക്രമിതജോടി എന്നാല്‍ നിശ്ചിതക്രമം പാലിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്. (a,b) എന്നത് ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതുമായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a ആദ്യത്തേയും b രണ്ടാമത്തേയും സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. (a,b)=(a',b') എന്നത് a=a' നേയും b=b'നേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ജോടിയും ഗണവും തമ്മിലുള്ള പ്രധാനവ്യത്യാസവും ഇതുതന്നെയാണ്. അതായത് ജോടി ഒരു നിശ്ചിതക്രമം സംഖ്യകളെ വിന്യസിക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാല്‍ ഗണത്തില്‍ ഇത്തരത്തിലൊരു ക്രമം ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ ഗണത്തില്‍ {a,a} എന്നത് അര്‍ത്ഥശൂന്യമാണ്. എന്നാല്‍ (a,a) ഒരു അര്‍ത്ഥവത്തായ ജോടിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് പുതിയൊരു ഗണം ഉണ്ടാക്കാന്‍ കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ഗുണനഫലം ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് ഗണങ്ങള്‍ Aയുടേയും Bയുടേയും ക്രമിതജോടികളായാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. A X B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം നിര്‍വ്വചിക്കാം.
A X B= {(x,y)/x∈ A,y∈ B}
Aഎന്ന ഗണത്തില്‍ m അംഗങ്ങളും Bഎന്ന ഗണത്തില്‍ n അംഗങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കില്‍ AXB എന്ന ഗണത്തില്‍ mXn അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിയ്ക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങള്‍:
- {1,2} X{ചുവപ്പ്,വെള്ള}={(1,ചുവപ്പ്),(1,വെള്ള),(2,ചുവപ്പ്),(2,വെള്ള)}
- {1, 2} X {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
ചില സവിശേഷതകള്‍
- A X ∅ = ∅ X A = ∅
- A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C)
- (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C)