04:51, 26 സെപ്റ്റംബർ 2017 സമയത്ത് Visbot

2017-09-26T04:51:41Z

14:15, 27 ഒക്ടോബർ 2009 സമയത്ത് Hassainarmankada

2009-10-27T14:15:15Z

@@ വരി 1: / വരി 1: @@
 ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, രണ്ട് [[വ്യഞ്ജകം (ഗണിതം)|വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍]] തുല്യങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന പ്രതീകാത്മമകപ്രസ്താവനയാണ് '''സമവാക്യം''' അഥവാ '''സമീകരണം''' (Equation) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.
@@ വരി 38: / വരി 36: @@
 [[വിഭാഗം:ഗണിതം]]
 {{ബീജഗണിതം-അപൂര്‍ണ്ണം|Equation}}

Admin: 1 പതിപ്പ്

2009-10-21T11:25:22Z

1 പതിപ്പ്

പുതിയ താൾ

{{prettyurl|Equation}}
{{ആധികാരികത}}
ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, രണ്ട് [[വ്യഞ്ജകം (ഗണിതം)|വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍]] തുല്യങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന പ്രതീകാത്മമകപ്രസ്താവനയാണ് '''സമവാക്യം''' അഥവാ '''സമീകരണം''' (Equation) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

സമീകരണം സംഖ്യകള്‍ മാത്രമുള്ളതോ, അക്ഷരങ്ങള്‍ അടങ്ങിയ സമതയോ ആവാം. ഒരു സമവാക്യത്തില്‍ തുല്യത കാണിക്കുന്നതിനായി, = എന്ന സമചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 2 + 3 = 5 എന്നത് സാംഖ്യികസമതയാണ് (Numerical Equation); x(x − 1) = x2 − x എന്നത് ഒരു സാക്ഷരസമതയും (Literal Equation) ആണ്. വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ ഏതൊരംഗത്തിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സമവാക്യം ഒരു [[സദാസത്യസമകം]] (Identity) കൂടിയാണ്. എന്നാല്‍, x2 − x = 0 എന്ന സമത പരിഗണിച്ചാല്‍, 0,1 എന്നീ രണ്ട് വിലകള്‍ ഒഴിച്ച്, മറ്റൊരു സംഖ്യക്കും ഈ സമത സത്യമല്ല എന്നു കാണാം. അതിനാല്‍ ഇതൊരു സദാസത്യസമത അല്ല; ഒരു സമവാക്യം മാത്രമാണ്. ഒരു സമവക്യത്തില്‍ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവാം.

== സവിശേഷതകള്‍ ==
[[ബീജഗണിതം|ബീജഗണിതത്തില്‍]] ഒരു സമവാക്യം സദാസത്യമാണെന്ന് പറയണമെങ്കില്‍
#ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശവും [[സങ്കലനം|കൂട്ടിയാലോ]],
#ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശത്തുനിന്നും [[വ്യവകലനം|കുറച്ചാലോ]],
#ഏത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും [[ഗുണനം|ഗുണിച്ചാലോ]],
#പൂജ്യമല്ലാത്ത എത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും [[ഹരണം|ഹരിച്ചാലോ]], അല്ലെങ്കില്‍,
#പൊതുവേ, ഏതു [[ഫലനം|ഫലനവും]] സമത്തിന് ഇരുവശത്തും സംയോജിപ്പിച്ചാലോ സമതയുടെ ഇരുവശത്തെ വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ വില തുല്യമായിരിക്കണം. എന്നാല്‍, ഇപ്രകാരം ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുമ്പോള്‍ വേറൊരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കപ്പെടും.

മേല്‍ക്കാണിച്ചിരിക്കുന്ന, 1 മുതല്‍ 4 വരെയുള്ള സവിശേഷതകളുള്ള ഒരു സമത, അതിന്റെ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു [[സര്‍വ്വസമത|സര്‍വ്വസമബന്ധമാണ്]].
അപ്രകാരം എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉള്ള ഒരു മണ്ഡലം, വാസ്തവികസംഖ്യാഗണമാണ്. എന്നാല്‍, എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണമോ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണമോ എല്ലാ സമവാക്യസവിശേഷതകളും പാലിക്കുന്നില്ല.

== നിര്‍ദ്ധാരണം ==
ഒരു സമതയിലെ ചരങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതക്രീയയാണ് '''സമവാക്യനിര്‍ദ്ധാരണം''' എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ആ വിലകളെ, സമതയുടെ '''മൂല്യങ്ങള്‍''' (Roots) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരേ മൂല്യങ്ങള്‍ ഉള്ള സമതകള്‍ തുല്യസമതകളാണ് (Equivalent Equations). x2 = 3x - 2 എന്ന സമതയുടേയും x2 + 2 = 3x എന്ന സമതയുടെയും രണ്ടു മൂല്യങ്ങളും (അതായത്, 1,2 എന്നീ സംഖ്യകള്‍) തുല്യങ്ങളാണ്. അതുകൊണ്ട് അവ തുല്യസമതകളാണ്.

ഒരു സമതയെ അതിന്റെ തുല്യസമതകള്‍ കൊണ്ട് തുടര്‍ച്ചയായി മാറ്റി ലഘൂകരിച്ചു കൊണ്ട് നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത്. സമതകള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന് സാധാരണ താഴെക്കാണുന്ന ഉപായങ്ങള്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നു:
# തുല്യസമതകള്‍കൊണ്ടുള്ള പുന:സ്ഥാപനം. (x+1)2 = 2x + 5 എന്ന സമതയെ x2+ 2x +1 = 2x + 5 എന്ന് മാറ്റാം.
# സമതയിലെ പദങ്ങള്‍ ഇരുവശത്തേക്കും ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട്. x2+ 2x +1 = 2x + 5 എന്നത്, x2+ 2x +1 - 2x - 5 = 0 എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍ നിന്ന് x2 - 4 = 0 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യസമതയുടെ തുല്യസമതയാണ്.
# സമതയുടെ ഇരുവശത്തും ഒരേ സംഖ്യകൊണ്ടോ, ഒരേ വ്യഞ്ജകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്തുകൊണ്ടോ; ''എന്നാല്‍ ഇപ്രകാരം ചെയ്യുമ്പോള്‍, വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍, പൂജ്യമായിത്തീരാന്‍ സാധിക്കുന്നവയായിരിക്കരുത്; അത് പുതിയ തുല്യസമതയെ സൃഷ്ടിക്കുകയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, (x+2) (x-1) = 4 (x-1) എന്ന സമതയെ, (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു വിഭജിക്കുമ്പോള്‍, x+2 = 4 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന് x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്, എന്നാല്‍ ആദ്യസമതയ്ക്ക്, X=1 എന്ന മറ്റൊരു മൂല്യം കൂടിയുണ്ട്. അതുപോലെ, x+2 = 4 എന്ന സമത നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍, സമതയുടെ ഇരുവശത്തും (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന പുതിയ സമതയ്ക്ക്, x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യമാത്രമുള്ള ആദ്യസമതയേക്കാള്‍, x=1 എന്ന ഒരു മൂല്യം കൂടുതലായുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, സമതകള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍, ഇങ്ങനെ ആദ്യസമതയുടേ മൂല്യങ്ങള്‍ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കുവാനും, പുതിയ മൂല്യങ്ങള്‍ അധികമായി വന്നു ചേരാതിരിക്കുവാനും സവിശേഷം ശ്രദ്ധിക്കണം.''
# അതുപോലെ ഒരു സമതയുടെ ഇരുവശവും ഒരു കൃത്യങ്കം കൊണ്ട് ഉയര്‍ത്തുവാനും, ഒരേപോലെ മൂലനിര്‍ണയം ചെയ്യുവാനും കഴിയും. ''എന്നാല്‍, അപ്രകാരം കിട്ടുന്ന സമതകള്‍ തുല്യങ്ങളായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല; ഉദാഹരണത്തിന്, 2x=6 എന്ന സമതയ്ക്, x=3 ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്; എന്നാല്‍, (2x)2=36 എന്ന സമതയ്ക്ക്, x= 3, -3 എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സവിശേഷത പ്രധാനമായും ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കണം.''

== വര്‍ഗ്ഗീകരണം ==
ഇരുവശത്തും [[ഏകപദം|ഏകപദങ്ങളോ]](Mononomial), [[ബഹുപദം|ബഹുപദങ്ങളോ]] (Polynomial) മാത്രമുള്ള ഒരു സമതയാണ് [[ബീജീയസമതകള്‍]] (Algebraic Equations). bx+ay2 = xy + 2m എന്ന സമത, രണ്ടു ചരങ്ങളിലുള്ള ഒരു ബീജീയസമതയാണ്; എന്നാല്‍, bx+ay2 = xy + 2x ഒരു ബിജീയസമതയല്ല; കാരണം, 2x എന്നത് ഒരു ഏകപദമല്ല.

ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു ബീജീയസമതയിലെ പദങ്ങളിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ഉയര്‍ന്ന തുക, ആ ബിജീയസമതയുടെ '''കൃതി''' (Degree) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങള്‍: 4x3 + 2x2 - 17x = 4x3 - 8 എന്ന സമത ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍, 2x2 - 17x + 8 = 0 എന്നു കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട്, മേല്‍സമതയുടെ കൃതി രണ്ടാണ് ; a4x+b5=c5 എന്ന സമതയുടെ കൃതി 1 ആണ് ; a2x5+bx3y3-a8xy4-2=0 എന്ന ദ്വിചരസമതയിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളായ എന്നിവയുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കൂടിയ തുക 6 ആണ് ( ആദ്യപദത്തിലും, മൂന്നാം പദത്തിലും). അതുകൊണ്ട്, സമതയുടെ കൃതി 6 ആണ്.

നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍, ഒരു ബിജീയസമവാക്യമായി ലഘൂകരിക്കപ്പെടുന്ന സമതകളും ബീജീയസമതകളായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്.
(x+1)/(x-1) = 2x എന്ന സമത രണ്ടാം കൃതിയുള്ള സമതയാണ്. ലഘൂകരിക്കുമ്പോള്‍, 2x2 -3x-1 = 0 എന്നതുല്യസമത ലഭിക്കുന്നു.

എത്രതന്നെ അജ്ഞാതചരങ്ങള്‍ ഉണ്ടായാലും, കൃതി ഒന്നായ സമതകളെ‍, '''രേഖീയസമതകള്‍''' (Linear Equations)എന്നു വിളിക്കുന്നു.

[[വിഭാഗം:ഗണിതം]]
{{ബീജഗണിതം-അപൂര്‍ണ്ണം|Equation}}

{{Link FA|fr}}

[[ar:معادلة رياضية]]
[[be-x-old:Раўнаньне]]
[[bg:Уравнение]]
[[bn:সমীকরণ]]
[[bs:Jednačina]]
[[ca:Equació]]
[[cs:Rovnice]]
[[cy:Hafaliad]]
[[da:Ligning]]
[[de:Gleichung]]
[[el:Εξίσωση]]
[[eml:Equaziån]]
[[en:Equation]]
[[eo:Ekvacio]]
[[es:Ecuación]]
[[et:Võrrand]]
[[eu:Ekuazio]]
[[fa:معادله]]
[[fi:Yhtälö]]
[[fiu-vro:Võrrand]]
[[fr:Équation (mathématiques)]]
[[gl:Ecuación]]
[[he:משוואה]]
[[hi:समीकरण]]
[[hr:Jednadžba]]
[[hu:Egyenlet]]
[[ia:Equation]]
[[id:Persamaan]]
[[io:Equaciono]]
[[is:Jafna]]
[[it:Equazione]]
[[ja:方程式]]
[[ka:განტოლება]]
[[ko:방정식]]
[[la:Aequatio]]
[[lmo:Equazziun]]
[[lo:ສົມຜົນ]]
[[lt:Lygtis]]
[[mr:समीकरण]]
[[ms:Persamaan]]
[[nl:Vergelijking (wiskunde)]]
[[nn:Likning]]
[[no:Ligning (matematikk)]]
[[pl:Równanie (matematyka)]]
[[pms:Equassion]]
[[pt:Equação]]
[[qu:Paqtachani]]
[[ro:Ecuaţie]]
[[ru:Уравнение]]
[[sah:Тэҥнэбил]]
[[scn:Iquazzioni]]
[[sh:Jednačina]]
[[simple:Equation]]
[[sk:Rovnica (matematika)]]
[[sl:Enačba]]
[[sq:Ekuacioni]]
[[sr:Једначина]]
[[sv:Ekvation]]
[[ta:சமன்பாடு]]
[[th:สมการ]]
[[tr:Denklem]]
[[uk:Рівняння]]
[[vi:Phương trình]]
[[vls:Vergelykinge (wiskunde)]]
[[yi:גלייכונג]]
[[yo:Ìṣedọ́gba]]
[[zh:方程]]

സമവാക്യം (ഗണിതശാസ്ത്രം) - നാൾവഴി

04:51, 26 സെപ്റ്റംബർ 2017 സമയത്ത് Visbot

14:15, 27 ഒക്ടോബർ 2009 സമയത്ത് Hassainarmankada

Admin: 1 പതിപ്പ്