ഗണം - നാൾവഴി

04:49, 26 സെപ്റ്റംബർ 2017 സമയത്ത് Visbot

2017-09-26T04:49:43Z

18:04, 26 ഒക്ടോബർ 2009 സമയത്ത് Admin

2009-10-26T18:04:25Z

@@ വരി 10: / വരി 10: @@
 == ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ==
-* <math>\mathbb{N}</math> [[എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണം]] {1,2,3.............}
+*  [[എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണം]] {1,2,3.............}
-* <math>\mathbb{N}_0</math> അഥവാ <math>\mathbb{W}</math> ധനപൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ അഥവാ [[അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണം|അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........}
+*  അഥവാ <math>\mathbb{W}</math> ധനപൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ അഥവാ [[അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണം|അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........}
-* <math>\mathbb{Z}</math> [[പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണം|പൂര്‍ണ്ണസഖ്യാഗണം]] {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................}
+*  [[പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണം|പൂര്‍ണ്ണസഖ്യാഗണം]] {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................}
-* <math>\mathbb{Q}</math> [[ഭിന്നകസംഖ്യാഗണം|ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
+*  [[ഭിന്നകസംഖ്യാഗണം|ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
-* <math>\mathbb{R}</math> [[രേഖീയസംഖ്യാഗണം|രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
+*  [[രേഖീയസംഖ്യാഗണം|രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
-* <math>\mathbb{C}</math> [[സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണം|സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുനാണ് ഈ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
+*  [[സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണം|സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുനാണ് ഈ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
 == അംഗത്വം ==
 തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന്‍ '''∈''' അഥവാ''' ∉''' എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
-ആയതിനാല്‍  <math>\mathbb{N}</math> ={1,2,3,4,..........}
 == ഗണനസംഖ്യ ==
@@ വരി 98: / വരി 96: @@
 * A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C)
 * (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C)

18:02, 26 ഒക്ടോബർ 2009 സമയത്ത് Admin

2009-10-26T18:02:29Z

←പഴയ രൂപം		23:32, 26 ഒക്ടോബർ 2009-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
വരി 1:		വരി 1:
	~~{{നാനാര്‍ത്ഥം\|ഗണം}}~~
	~~{{prettyurl\|Set}}~~
	[[ചിത്രം:Venn A intersect B.svg\|200px\|thumb\|രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ സംഗമം സൂചിപ്പിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന വെന്‍ ഡയഗ്രം]]		[[ചിത്രം:Venn A intersect B.svg\|200px\|thumb\|രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ സംഗമം സൂചിപ്പിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന വെന്‍ ഡയഗ്രം]]
	ഗണം എന്നത് [[ഗണിതശാസ്ത്രം\|ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ]] അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളില്‍ ഒന്നാണ്. [[ഗണസിദ്ധാന്തം]] വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് [[ജോര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍\|ജോ‌ര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍]] ആണ്.		ഗണം എന്നത് [[ഗണിതശാസ്ത്രം\|ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ]] അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളില്‍ ഒന്നാണ്. [[ഗണസിദ്ധാന്തം]] വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് [[ജോര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍\|ജോ‌ര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍]] ആണ്.

Admin: 1 പതിപ്പ്

2009-10-21T11:25:19Z

1 പതിപ്പ്

പുതിയ താൾ

{{നാനാര്‍ത്ഥം|ഗണം}}
{{prettyurl|Set}}
[[ചിത്രം:Venn A intersect B.svg|200px|thumb|രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെ സംഗമം സൂചിപ്പിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന വെന്‍ ഡയഗ്രം]]
ഗണം എന്നത് [[ഗണിതശാസ്ത്രം|ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ]] അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളില്‍ ഒന്നാണ്. [[ഗണസിദ്ധാന്തം]] വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് [[ജോര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍|ജോ‌ര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍]] ആണ്.

== നിര്‍വ്വചനം ==
[[ജോര്‍ജ്ജ് കാന്റര്‍]] ആണ് ഗണത്തെ നിര്‍വ്വചിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തില്‍
"വ്യക്തമായി നിര്‍വ്വചിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന അം‌ഗങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ ഗണം" എന്ന് പറയുന്നു. ഇതിലെ അംഗങ്ങള്‍ രാശികളോ വസ്തുക്കളോ ആശയങ്ങളോ ആവാം.

== സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി ==
ഗണത്തെ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ {} ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളില്‍ നിര്‍വ്വചിക്കുന്നു. അംഗങ്ങളുടെ വിന്യാസം പ്രധാനമായും 3 രീതിയിലാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

== ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ==
* <math>\mathbb{N}</math> [[എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണം]] {1,2,3.............}
* <math>\mathbb{N}_0</math> അഥവാ <math>\mathbb{W}</math> ധനപൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ അഥവാ [[അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണം|അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........}
* <math>\mathbb{Z}</math> [[പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണം|പൂര്‍ണ്ണസഖ്യാഗണം]] {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................}
* <math>\mathbb{Q}</math> [[ഭിന്നകസംഖ്യാഗണം|ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
* <math>\mathbb{R}</math> [[രേഖീയസംഖ്യാഗണം|രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
* <math>\mathbb{C}</math> [[സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണം|സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തെ]] സൂചിപ്പിക്കുനാണ് ഈ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

== അംഗത്വം ==
തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന്‍ '''∈''' അഥവാ''' ∉''' എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ഉദാ:<math>\mathbb{N}</math> എന്ന എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണം പരിഗണിക്കുക.

ആയതിനാല്‍ <math>\mathbb{N}</math> ={1,2,3,4,..........}
ഇവിടെ 100∈<math>\mathbb{N}</math> ഉം 0 ∉ <math>\mathbb{N}</math>ഉം ആണ്.

== ഗണനസംഖ്യ ==
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ(Cardinality)എന്ന് പറയുന്നു.ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് | | എന്ന ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചാണ്.

മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തില്‍ <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ അനന്തമാണ്.A ={1,2,3,4}എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാല്‍ |A|=4 ആണെന്ന് കാണാം.
== ഉപഗണം ==
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ അംഗങ്ങളായുള്ള ഗണത്തേയാണ് ഉപഗണം(Subset) എന്ന് പറയുന്നത്.ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് '''<math>\subseteq</math>''' ഇപ്രകാരമാണ്.

<math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാല്‍ A={2,4,6,8..........} എന്ന ഗണം <math>\mathbb{N}</math>ന്റെ ഉപഗണമാണെന്ന് പറയാം.

അതായത് A<math>\subseteq</math><math>\mathbb{N}</math> ഉം തിരിച്ച് <math>\mathbb{N}</math> എന്ന ഗണം Aയുടെ അധിഗണം(Superset) ആണെന്നും പറയാം.<math>\mathbb{N}</math><math> \supseteq </math>A
== ഗണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിഹ്നങ്ങള്‍ ==
* അംഗമാണ് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന്‍.
* {} അംഗങ്ങളെ വിന്യസിക്കാന്‍
* <math>\subseteq</math> ഉപഗണം
* '''∩''' [[സംഗമം]]
* '''∪''' [[യോഗം(ഗണിതശാസ്ത്രം)|യോഗം]]
* A' ,Aയുടെ [[പൂരകഗണം]]

== യോഗം ==
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ചേര്‍ന്ന ഗണം ലഭിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേയും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഗണത്തില്‍ വിന്യസിക്കുന്നു.

രണ്ട് ഗണങ്ങള്‍ A യുടേയും B യുടേയും യോഗം A ∪ B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇതിലെ അംഗങ്ങള്‍ ഒന്നുകില്‍ Aയിലേയോ അല്ലെങ്കില്‍ Bയിലേയോ അംഗങ്ങളാവാം.

[[നിബന്ധനാരീതി|നിബന്ധനാരീതിയില്‍]] ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം A ∪ B ={x/x∈ A അഥവാ x∈B}
ഉദാഹരണങ്ങള്‍:
* {1,3} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള}
* {1,3,പച്ച} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} ={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}
* A={1,3,5,.......},B={2,4,6,8..........} എങ്കില്‍ A ∪ B={1,2,3,4,5....................} ആയിരിയ്ക്കും.
=== ചില സവിശേഷതകള്‍ ===
* [[ക്രമനിയമം]](Commutative law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ B = B ∪ A
* [[സാഹചര്യനിയമം]](Associative law) പാലിക്കുന്നു. അതായത് A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
* A ⊆ (A ∪ B)
* [[വര്‍ഗ്ഗസമനിയമം]](Idempotent law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ A = A
* A ∪ ø = A,[[ശൂന്യഗണം|ശൂന്യഗണമാണ്]] തല്‍സമകം(Identity element)
== സംഗമം ==
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ പൊതുവായുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഗണം സംഗമം എന്ന സംകാരകം വഴി ലഭിക്കുന്നു.രണ്ട് ഗണങ്ങല്‍ A യുടെയും B യുടേയും സംഗമം A ∩ B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളില്‍ പൊതുവായ ഒരു അംഗവും ഇല്ലെങ്കില്‍ അവയെ വിയുക്തഗണം എന്ന് പറയുന്നു.

നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.A∩B ={x/x∈ A ഉം x∈B}
ഉദാഹരണങ്ങള്‍:
* {1,2} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}=ø
* {1,2,പച്ച} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}={പച്ച}
=== ചില സവിശേഷതകള്‍ ===
* ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.A ∩ B = B ∩ A
സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
* A ∩ B ⊆ A
* വര്‍ഗ്ഗസമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു, A ∩ A = A
* ശൂന്യഗണമാണ് തല്‍സമകം,A ∩ ø = ø
== പൂരകഗണം ==
[[സമസ്തഗണം|സമസ്തഗണത്തിലുള്ളതും]](Universal Set) തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലില്ലാത്തതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെ പൂരകഗണം എന്ന് പറയുന്നു.Aയുടെ പൂരകഗണത്തെ A' എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.

നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.
A'={x/x∉A }
== കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ഗുണനഫലം ==
=== ക്രമിതജോടി ===
ഒരു ക്രമിതജോടി എന്നാല്‍ നിശ്ചിതക്രമം പാലിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്. (a,b) എന്നത് ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതുമായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a ആദ്യത്തേയും b രണ്ടാമത്തേയും സം‍ഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
(a,b)=(a',b') എന്നത് a=a' നേയും b=b'നേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ജോടിയും ഗണവും തമ്മിലുള്ള പ്രധാനവ്യത്യാസവും ഇതുതന്നെയാണ്. അതായത് ജോടി ഒരു നിശ്ചിതക്രമം സംഖ്യകളെ വിന്യസിക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാല്‍ ഗണത്തില്‍ ഇത്തരത്തിലൊരു ക്രമം ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ ഗണത്തില്‍ {a,a} എന്നത് അര്‍ത്ഥശൂന്യമാണ്. എന്നാല്‍ (a,a) ഒരു അര്‍ത്ഥവത്തായ ജോടിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് പുതിയൊരു ഗണം ഉണ്ടാക്കാന്‍ കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ഗുണനഫലം ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് ഗണങ്ങള്‍ Aയുടേയും Bയുടേയും ക്രമിതജോടികളായാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. A X B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിബന്ധനാരീതിയില്‍ ഇപ്രകാരം നിര്‍വ്വചിക്കാം.

A X B= {(x,y)/x∈ A,y∈ B}

Aഎന്ന ഗണത്തില്‍ m അംഗങ്ങളും Bഎന്ന ഗണത്തില്‍ n അംഗങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കില്‍ AXB എന്ന ഗണത്തില്‍ mXn അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിയ്ക്കും.

ഉദാഹരണങ്ങള്‍:
* {1,2} X{ചുവപ്പ്,വെള്ള}={(1,ചുവപ്പ്),(1,വെള്ള),(2,ചുവപ്പ്),(2,വെള്ള)}
* {1, 2} X {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

=== ചില സവിശേഷതകള്‍ ===
* A X ∅ = ∅ X A = ∅
* A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C)
* (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C)

== അവലംബം ==
Linear Algebra by Klaus Janich,Springer Publication,ISBN:81-8128-187-X

http://en.wikipedia.org/wiki/Set#Cartesian_product

ഹൈസ്കൂള്‍ ശാസ്ത്രനിഘണ്ടു,കേരള ശാസ്ത്രസാഹിത്യപരിഷദ്
{{math-stub|Set}}
[[വിഭാഗം:ഗണിതം]]
[[വിഭാഗം:ഗണം]]

{{Link FA|lmo}}

[[als:Menge (Mathematik)]]
[[ar:مجموعة (رياضيات)]]
[[be:Мноства]]
[[be-x-old:Мноства]]
[[bg:Множество]]
[[bn:সেট]]
[[bs:Skup (matematika)]]
[[ca:Conjunt]]
[[ckb:کۆمەڵ (بیرکاری)]]
[[cs:Množina]]
[[da:Mængde]]
[[de:Menge (Mathematik)]]
[[el:Σύνολο]]
[[en:Set (mathematics)]]
[[eo:Aro (matematiko)]]
[[es:Conjunto]]
[[et:Hulk]]
[[eu:Multzo]]
[[fa:مجموعه (ریاضی)]]
[[fiu-vro:Hulk]]
[[fr:Ensemble]]
[[fur:Insiemi]]
[[gd:Àlach]]
[[gl:Conxunto]]
[[he:קבוצה (מתמטיקה)]]
[[hr:Skup]]
[[hu:Halmaz]]
[[ia:Ensemble]]
[[id:Himpunan (matematika)]]
[[io:Ensemblo]]
[[is:Mengi]]
[[it:Insieme]]
[[ja:集合]]
[[ka:სიმრავლე]]
[[kn:ಗಣ]]
[[ko:집합]]
[[ku:Kom]]
[[la:Copia]]
[[lmo:Cungjuunt]]
[[lt:Aibė]]
[[lv:Kopa]]
[[mk:Множество]]
[[mn:Олонлог]]
[[ms:Set]]
[[nl:Verzameling (wiskunde)]]
[[nn:Mengd]]
[[no:Mengde]]
[[nov:Ensemble]]
[[oc:Ensemble]]
[[pl:Zbiór]]
[[pms:Ansem]]
[[pt:Conjunto]]
[[qu:Tantachisqa]]
[[ro:Mulţime]]
[[ru:Множество]]
[[scn:Nzemi]]
[[sh:Skup]]
[[simple:Set]]
[[sk:Množina]]
[[sl:Množica]]
[[sq:Bashkësitë]]
[[sr:Скуп]]
[[sv:Mängd]]
[[ta:கணம் (கணிதம்)]]
[[te:సమితులు]]
[[th:เซต (คณิตศาสตร์)]]
[[tr:Küme]]
[[uk:Множина]]
[[ur:مجموعہ]]
[[vi:Tập hợp]]
[[xal:Олн]]
[[yi:סכום (מאטעמאטיק)]]
[[zh:集合]]
[[zh-classical:集]]
[[zh-yue:集合]]