അവാസ്തവികസംഖ്യ - നാൾവഴി

04:50, 26 സെപ്റ്റംബർ 2017 സമയത്ത് Visbot

2017-09-26T04:50:55Z

←പഴയ രൂപം		10:20, 26 സെപ്റ്റംബർ 2017-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
വരി 1:		വരി 1:
	[[ഋണസംഖ്യ\|ഋണസംഖ്യയുടെ]] ~~വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തേയാണ്~~ '''അവാസ്തവികസംഖ്യ''' (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. [[മിശ്രസംഖ്യ\|സമ്മിശ്രസംഖ്യ]]~~യില്‍~~ '''i''' ഗുണോത്തരമായി ~~ചേര്‍ന്ന~~ സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ ~~വര്‍ഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാള്‍~~ ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ ~~നിര്‍വ്വചിച്ചത് 1572ല്‍~~ [[~~റാഫേല്‍~~ ബോംബെല്ലി]] ആണ്. ~~ആദ്യകാലങ്ങളില്‍~~ ''~~ദെക്കാര്‍ത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്‍~~'' എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. ~~എന്നാല്‍~~ ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. '''0''' ആണ് [[രേഖീയസംഖ്യ\|രേഖീയസംഖ്യയും]] അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ.		[[ഋണസംഖ്യ\|ഋണസംഖ്യയുടെ]] വർഗ്ഗമൂലത്തേയാണ് '''അവാസ്തവികസംഖ്യ''' (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. [[മിശ്രസംഖ്യ\|സമ്മിശ്രസംഖ്യ]]യിൽ '''i''' ഗുണോത്തരമായി ചേർന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിർവ്വചിച്ചത് 1572ൽ [[റാഫേൽ ബോംബെല്ലി]] ആണ്. ആദ്യകാലങ്ങളിൽ ''ദെക്കാർത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകൾ'' എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. എന്നാൽ ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. '''0''' ആണ് [[രേഖീയസംഖ്യ\|രേഖീയസംഖ്യയും]] അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ.

	== ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ==		== ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ==
	[[Image:249px-Complex_conjugate_picture.svg.png‎ \|right\|thumb\|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. ~~അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ലംബനിര്‍ദ്ദേശാങ്ക~~ അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]]		[[Image:249px-Complex_conjugate_picture.svg.png‎\|right\|thumb\|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ ലംബനിർദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]]
	സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് ~~അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍~~ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു ~~പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയില്‍~~ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ~~ല്‍~~ X ~~അക്ഷത്തില്‍~~ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള ~~സൂചിപ്പിക്കലില്‍~~ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ~~ആയതിനാല്‍~~ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു.		സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയിൽ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ൽ X അക്ഷത്തിൽ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലിൽ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാൽ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു.

	== ~~പ്രയോഗങ്ങള്‍~~ ==		== പ്രയോഗങ്ങൾ ==
	~~അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍~~ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രധാനമായും ~~സിഗ്നല്‍~~ പ്രോസസിംഗ്, ~~കണ്‍ട്രോള്‍~~ സിദ്ധാന്തം, വിദ്യുത്കാന്തികം, ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം, ~~കാര്‍ട്ടോഗ്രഫി~~ എന്നീ മേഖലകളിലാണ്. ~~ഇലക്ട്രികല്‍ എന്‍ജിനീയറിംഗില്‍~~ ഒരു ബാറ്ററി ഉണ്ടാക്കുന്ന ~~വോള്‍ട്ടേജ്~~ [[ആയതി]] എന്ന രേഖീയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. ~~എന്നാല്‍~~ AC ~~വോള്‍ട്ടേജ്~~		അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രധാനമായും സിഗ്നൽ പ്രോസസിംഗ്, കൺട്രോൾ സിദ്ധാന്തം, വിദ്യുത്കാന്തികം, ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം, കാർട്ടോഗ്രഫി എന്നീ മേഖലകളിലാണ്. ഇലക്ട്രികൽ എൻജിനീയറിംഗിൽ ഒരു ബാറ്ററി ഉണ്ടാക്കുന്ന വോൾട്ടേജ് [[ആയതി]] എന്ന രേഖീയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. എന്നാൽ AC വോൾട്ടേജ്
	ആയതി, ഫേസ് എന്നീ 2 അളവുകളുപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. ~~വോള്‍ട്ടേജിന്~~ 2 വിമകളുണ്ട്. 2 വിമകളുള്ള ഒരു തലത്തെ ഗണിതീയമായി ~~വെക്റ്റര്‍~~ ഉപയോഗിച്ചോ സമ്മിശ്രസംഖ്യയുപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കാം. ~~വെക്റ്റര്‍ അവതരണത്തില്‍~~ X,Y എന്നീ സമകോണീയ ~~നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങളാണ്~~ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ~~എന്നാല്‍~~ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായി ~~സൂചിപ്പിക്കുമ്പോള്‍~~ രേഖീയസംഖ്യാഭഅഗവും അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗവും ഉണ്ടായിരിക്കും. സമ്മിശ്രസംഖ്യ, ~~ശുദ്ധഅവാസ്തവികസംഖ്യയാണെങ്കില്‍~~ അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗം ആയതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ ഫേസ് 90° ആയിരിക്കും.		ആയതി, ഫേസ് എന്നീ 2 അളവുകളുപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. വോൾട്ടേജിന് 2 വിമകളുണ്ട്. 2 വിമകളുള്ള ഒരു തലത്തെ ഗണിതീയമായി വെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ചോ സമ്മിശ്രസംഖ്യയുപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കാം. വെക്റ്റർ അവതരണത്തിൽ X,Y എന്നീ സമകോണീയ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. എന്നാൽ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ രേഖീയസംഖ്യാഭഅഗവും അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗവും ഉണ്ടായിരിക്കും. സമ്മിശ്രസംഖ്യ, ശുദ്ധഅവാസ്തവികസംഖ്യയാണെങ്കിൽ അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗം ആയതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ ഫേസ് 90° ആയിരിക്കും.

	== ചരിത്രം ==		== ചരിത്രം ==
	~~ദെക്കര്‍ത്തേയാണ്~~ ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം ~~1637ല്‍~~ അവതരിപ്പിച്ചത്. ~~അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ഇതിനുമുന്‍പുതന്നെ 1500കളില്‍~~ ഗെറോലാമോ ~~കാര്‍ഡേനോ~~ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. ~~എന്നാല്‍~~ ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത് ~~ലിയോനാര്‍ഡ് ഓയ്‌ലര്‍~~ (1707–1783), ~~കാള്‍~~ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) ~~എന്നിവര്‍ക്ക്~~ ശേഷമാണ്.		ദെക്കർത്തേയാണ് ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം 1637ൽ അവതരിപ്പിച്ചത്. അവാസ്തവികസംഖ്യകൾ ഇതിനുമുൻപുതന്നെ 1500കളിൽ ഗെറോലാമോ കാർഡേനോ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. എന്നാൽ ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത് ലിയോനാർഡ് ഓയ്‌ലർ (1707–1783), കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) എന്നിവർക്ക് ശേഷമാണ്.

			<!--visbot verified-chils->

12:36, 27 ഒക്ടോബർ 2009 സമയത്ത് Hassainarmankada

2009-10-27T12:36:31Z

←പഴയ രൂപം		18:06, 27 ഒക്ടോബർ 2009-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
വരി 2:		വരി 2:

	== ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ==		== ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ==
	[[~~ചിത്രം~~:~~Complex conjugate picture~~.svg\|right\|thumb\|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ലംബനിര്‍ദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]]		[[Image:249px-Complex_conjugate_picture.svg.png‎ \|right\|thumb\|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ലംബനിര്‍ദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]]
	സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയില്‍ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ല്‍ X അക്ഷത്തില്‍ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലില്‍ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാല്‍ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു.		സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയില്‍ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ല്‍ X അക്ഷത്തില്‍ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലില്‍ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാല്‍ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു.

17:29, 23 ഒക്ടോബർ 2009 സമയത്ത് Admin

2009-10-23T17:29:47Z

@@ വരി 1: / വരി 1: @@
 [[ഋണസംഖ്യ|ഋണസംഖ്യയുടെ]] വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തേയാണ് '''അവാസ്തവികസംഖ്യ''' (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. [[മിശ്രസംഖ്യ|സമ്മിശ്രസംഖ്യ]]യില്‍ '''i''' ഗുണോത്തരമായി ചേര്‍ന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാള്‍ ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിര്‍വ്വചിച്ചത് 1572ല്‍ [[റാഫേല്‍ ബോംബെല്ലി]] ആണ്. ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ ''ദെക്കാര്‍ത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്‍'' എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. എന്നാല്‍ ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. '''0''' ആണ് [[രേഖീയസംഖ്യ|രേഖീയസംഖ്യയും]] അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ.
@@ വരി 41: / വരി 11: @@
 == ചരിത്രം ==
 ദെക്കര്‍ത്തേയാണ് ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം 1637ല്‍  അവതരിപ്പിച്ചത്. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ഇതിനുമുന്‍പുതന്നെ 1500കളില്‍ ഗെറോലാമോ കാര്‍ഡേനോ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. എന്നാല്‍ ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത്  ലിയോനാര്‍ഡ് ഓയ്‌ലര്‍ (1707–1783), കാള്‍ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) എന്നിവര്‍ക്ക് ശേഷമാണ്.

Admin: 1 പതിപ്പ്

2009-10-21T11:25:21Z

1 പതിപ്പ്

←പഴയ രൂപം		16:55, 21 ഒക്ടോബർ 2009-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
(വ്യത്യാസം ഇല്ല)

125.237.229.12: mk

2009-09-11T04:45:20Z

പുതിയ താൾ

{{prettyurl|Imaginary number}}
{{ആധികാരികത}}
<div align=right style="float: right; margin-left: 1em">
{| class="wikitable"
|-
|<math>\ldots</math> (repeats the pattern <br />from blue area)
|-
|<math>i^{-3} = i\,</math>
|-
|<math>i^{-2} = -1\,</math>
|-
|<math>i^{-1} = -i\,</math>
|-
| style="background:#cedff2;" | <math>i^0 = 1\,</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^1 = i\,</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^2 = -1\,</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^3 = -i\,</math>
|-
|<math>i^4 = 1\,</math>
|-
|<math>i^5 = i\,</math>
|-
|<math>i^6 = -1\,</math>
|-
|<math>\ldots</math> (repeats the pattern <br />from blue area)
|-
|}</div>
[[ഋണസംഖ്യ|ഋണസംഖ്യയുടെ]] വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തേയാണ് '''അവാസ്തവികസംഖ്യ''' (Imaginary number) എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. [[മിശ്രസംഖ്യ|സമ്മിശ്രസംഖ്യ]]യില്‍ '''i''' ഗുണോത്തരമായി ചേര്‍ന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇതൊരു സമ്മിശ്രസംഖ്യയാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം പൂജ്യത്തേക്കാള്‍ ചെറുതായിരിക്കും. അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ നിര്‍വ്വചിച്ചത് 1572ല്‍ [[റാഫേല്‍ ബോംബെല്ലി]] ആണ്. ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ ''ദെക്കാര്‍ത്തേ സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്‍'' എന്ന രീതിയിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിച്ചത്. എന്നാല്‍ ഇന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യയിലെ രേഖീയസംഖ്യാഭാഗം പൂജ്യം ആയ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. '''0''' ആണ് [[രേഖീയസംഖ്യ|രേഖീയസംഖ്യയും]] അതേസമയം അവാസ്തവികസംഖ്യയും ആയ ഒരേ ഒരു സംഖ്യ.

== ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ==
[[ചിത്രം:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|സമ്മിശ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ലംബനിര്‍ദ്ദേശാങ്ക അക്ഷത്തിലാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്.]]
സമ്മിശ്രസംഖ്യാതലത്തിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തിലാണ് അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. രേഖീയാക്ഷത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.വലത്തോട്ടുപോകുന്തോറും ധനവില കൂടുകയും ഇടത്തോട്ട് പോകുന്തോറും ഋണവില കൂടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രമാണസംഖ്യാരേഖയില്‍ ഇവയെ അടയാളപ്പെടുത്താം. 0 ല്‍ X അക്ഷത്തില്‍ വരയ്ക്കാവുന്ന Y അക്ഷത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ വില കൂടുന്നതായും താഴേക്ക് വില കുറയുന്നതായും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ലംബരേഖയേയാണ് [[അവാസ്തവിക അക്ഷം]] എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത്തരത്തിലുള്ള സൂചിപ്പിക്കലില്‍ -1 കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം അക്ഷത്തിലുള്ള 180 ഡിഗ്രീ കറക്കമാണ്. i കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം 90 ഡിഗ്രീ കറക്കവും. i <sup>2</sup>=-1 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് തവണ 90 ഡിഗ്രീ കറക്കം പ്രയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇത് 180 ഡിഗ്രീ കറക്കത്തിനു തുല്യമാണ്. ഋണദിശയിലും അതായത് ഘടികാരദിശയിലും ഇത് ശരിയാണ്. ആയതിനാല്‍ −i ഉംx2 = − 1 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കുന്നു.

== പ്രയോഗങ്ങള്‍ ==
അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രധാനമായും സിഗ്നല്‍ പ്രോസസിംഗ്, കണ്‍ട്രോള്‍ സിദ്ധാന്തം, വിദ്യുത്കാന്തികം, ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം, കാര്‍ട്ടോഗ്രഫി എന്നീ മേഖലകളിലാണ്. ഇലക്ട്രികല്‍ എന്‍ജിനീയറിംഗില്‍ ഒരു ബാറ്ററി ഉണ്ടാക്കുന്ന വോള്‍ട്ടേജ് [[ആയതി]] എന്ന രേഖീയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. എന്നാല്‍ AC വോള്‍ട്ടേജ്
ആയതി, ഫേസ് എന്നീ 2 അളവുകളുപയോഗിച്ചാണ് വിവരിക്കുന്നത്. വോള്‍ട്ടേജിന് 2 വിമകളുണ്ട്. 2 വിമകളുള്ള ഒരു തലത്തെ ഗണിതീയമായി വെക്റ്റര്‍ ഉപയോഗിച്ചോ സമ്മിശ്രസംഖ്യയുപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കാം. വെക്റ്റര്‍ അവതരണത്തില്‍ X,Y എന്നീ സമകോണീയ നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. എന്നാല്‍ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ രേഖീയസംഖ്യാഭഅഗവും അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗവും ഉണ്ടായിരിക്കും. സമ്മിശ്രസംഖ്യ, ശുദ്ധഅവാസ്തവികസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ അവാസ്തവികസംഖ്യാഭാഗം ആയതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ ഫേസ് 90° ആയിരിക്കും.

== ചരിത്രം ==
ദെക്കര്‍ത്തേയാണ് ആദ്യമായി അവാസ്തവികം എന്ന ആശയം 1637ല്‍ അവതരിപ്പിച്ചത്. അവാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ ഇതിനുമുന്‍പുതന്നെ 1500കളില്‍ ഗെറോലാമോ കാര്‍ഡേനോ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. എന്നാല്‍ ഇവ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടുതുടങ്ങിയത് ലിയോനാര്‍ഡ് ഓയ്‌ലര്‍ (1707–1783), കാള്‍ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ് (1777–1855) എന്നിവര്‍ക്ക് ശേഷമാണ്.

== iയുടെ കൃതികള്‍ ==
iയുടെ കൃതികള്‍ ആവര്‍ത്തനങ്ങളാണ്.
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
:<math>i^{-2} = -1\,</math>
:<math>i^{-1} = -i\,</math>
:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>
:<math>i^4 = 1\,</math>
:<math>i^5 = i\,</math>
:<math>i^6 = -1\,</math>
:<math>\ldots</math>

ഇതിനെ ഇപ്രകാരം ഏതൊരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ nനും ഒരു ശ്രേണിയായി സൂചിപ്പിക്കാം.
:<math>i^{4n} = 1\,</math>
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
അപ്രകാരം :<math>i^n = i^{n \bmod4}.\,</math> എന്ന തീരുമാനത്തിലെത്താം.
{{num-stub|Imaginary number}}

[[വര്‍ഗ്ഗം:ഗണിതം]]

[[ar:عدد تخيلي]]
[[ca:Nombre imaginari]]
[[da:Imaginære tal]]
[[de:Imaginäre Zahl]]
[[el:Φανταστικός αριθμός]]
[[en:Imaginary number]]
[[es:Número imaginario]]
[[fi:Imaginaariluku]]
[[fr:Nombre imaginaire pur]]
[[gl:Número imaxinario]]
[[he:מספר מדומה]]
[[id:Bilangan imajiner]]
[[is:Þvertala]]
[[ko:허수]]
[[la:Quantitas imaginaria]]
[[mk:Имагинарен број]]
[[nl:Imaginair getal]]
[[pl:Liczby urojone]]
[[pt:Número imaginário]]
[[sv:Imaginära tal]]
[[ta:கற்பனை எண்]]
[[th:จำนวนจินตภาพ]]
[[vls:Imaginaire getalln]]
[[yo:Nọ́mbà tíkòsí]]
[[zh:虚数]]
[[zh-yue:純虛數]]